NIEKOMUTATYWNA GEOMETRIA

Seminarium Instytutu Matematycznego Polskiej Akademii Nauk

Ul. Sniadeckich 8, sala 408



15/10/03

NIEPRZEMIENNA GEOMETRIA KWANTOWYCH 3-SFER TYPU HEEGAARDA

Rozdzielanie rozmaitosci trojwymiarowych torusem dwuwymiarowym nazywane jest rozszczepieniem Heegaarda. Na przyklad 3-sfere daje sie przedstawic jako jako sklejenie po torusie dwoch pelnych torusow. Odpowiada to lokalnej trywializacji rozwloknienia Hopfa. Celem referatu jest przedstawienie geometrii kwantowych 3-sfer otrzymanych z kwantowych pelnych torusow ktorych przeciecia poprzeczne sa dyskami Klimka - Lesniewskiego (algebry Toeplitza), a zagniazdowane 2-torusy (w tym brzeg po ktorym sie klei) sa torusami nieprzemiennymi (algebry C* niewymiernej rotacji). Szczegolnymi przypadkami tej konstrukcji sa sfery Matsumoto (kwantowe torusy, klasyczne dyski) i Calowa-Matthesa (klasyczne torusy, kwantowe dyski).

PIOTR M. HAJAC (Instytut Matematyczny PAN / Katedra Metod Matematycznych Fizyki UW)


22/10/03

NIEPRZEMIENNA GEOMETRIA KWANTOWYCH 3-SFER TYPU HEEGAARDA

ciag dalszy

PIOTR M. HAJAC (Instytut Matematyczny PAN / Katedra Metod Matematycznych Fizyki UW)


27/10/03

K-TEORIA SFER CALOWA-MATTHESA

Celem referatu jest pokazanie metod pozwalajacych na wyliczenie K-grup algebry C* kwantowych 3-sfer Calowa-Matthesa. Na poczatku omowiona zostanie klasyczna geometria 3-sfery pozwalajaca na skonstruowanie dwoch roznych krotkich ciagow dokladnych oraz diagramu Mayera-Vietorisa przemiennych algebr C*. Nieprzemienne analogi tych konstrukcji pozwalaja na wyliczenie odpowiednio K-teorii 3-sfer Calowa-Matthesa, SUq(2) oraz 3-sfer Matsumoto. Rachunek dla tych pierwszych zostanie przeprowadzony tak dokladnie jak to bedzie mozliwe.

PIOTR M. HAJAC (Instytut Matematyczny PAN / Katedra Metod Matematycznych Fizyki UW)


03/11/03

K-TEORIA SFER CALOWA-MATTHESA

ciag dalszy

PIOTR M. HAJAC (Instytut Matematyczny PAN / Katedra Metod Matematycznych Fizyki UW)


05/11/03

NIEKOMUTATYWNA STREFA BRILLOUINA I KWANTOWY EFEKT HALLA

Matematyczny opis strefy Brillouina dla doskonalych krysztalow w jezyku niekomutatywnej geometrii otwiera mozliwosci badania matematycznego struktur aperiodycznych, kwazikrysztalow oraz powiazania matematycznych struktur i ich wlasnosci z opisem elektronow i fononow - w szczegolnosci kwantowego efektu Halla. Wprowadzeniu w te matematyczna metode opisu oraz przedstawieniu kwantowego efektu halla w tym opisie bedzie poswiecone seminarium.

ANDRZEJ SITARZ (Instytut Fizyki UJ)


17/11/03

NIEAFINICZNA GEOMETRIA NIEPRZEMIENNA I TEORIA REPREZENTACJI

Podane zostana definicje i przyklady nieprzemiennych analogonow schematow (niekoniecznie afinicznych), ich kategorii snopow kwazikoherentnych, morfizmow w kategorii schematow i konstrukcje funktorow obrazu prostego i odwrotnego snopow kwazikoherentnych. Wyjasniony bedzie zwiazek z teoria reprezentacji, przedstawiona zostanie kanoniczna infinitezymalna geometria uniwersalnego schematu parametryzujacego reprezentacje i skonstruowana dg-kategoria uogolniajaca model Dolbeault kategorii snopow kwazikoherentnych na algebraicznej rozmaitosci zespolonej.

TOMASZ MASZCZYK (Instytut Matematyczny PAN, Instytut Matematyki UW)


19/11/03

EFEKT HALLA I NIEKOMUTATYWNA GEOMETRIA - WZOR KUBO

Przedstawione zostanie wyprowadzenie wzoru Kubo na przewodnictwo. Laczac przewodnictwo z charakterem Cherna pewnej projekcji wskazuje on zjawisko kwantowego efektu Halla jako efekt topologiczny. Wyprowadzenie jest oparte o teorie transportu. Omowione zostana takze ograniczenia tej teorii (granice stosowalnosci) oraz kwestie lokalizacji.

ANDRZEJ SITARZ (Instytut Fizyki UJ)


24/11/03

NIEAFINICZNA GEOMETRIA NIEPRZEMIENNA I TEORIA REPREZENTACJI

ciag dalszy

TOMASZ MASZCZYK (Instytut Matematyczny PAN, Instytut Matematyki UW)


01/12/03

QUANTUM HALL EFFECT AND NONCOMMUTATIVE GEOMETRY - KUBO FORMULA

continuation

ANDRZEJ SITARZ (Instytut Fizyki UJ)


03/12/03

DIRAC OPERATORS ON QUANTUM FLAG MANIFOLDS

A Dirac operator D on quantized irreducible generalized flag manifolds is defined. This yields a Hilbert space realization of the covariant first-order differential calculi constructed by I. Heckenberger and S. Kolb. All differentials df=i[D,f] are bounded operators. In the simplest case of the Podles quantum sphere one obtains the spectral triple found by L. Dabrowski and A. Sitarz.

ULRICH KRAEHMER (Universitaet Leipzig, Germany)


08/12/03

NIEPRZEMIENNA "DESCENT THEORY"

Omowiona zostanie nieprzemienna wersja sklejania obiektow geometrycznych zadanych na uogolnionych "afinicznych otwartych pokryciach" przestrzeni nieprzemiennych. Od klasycznego (przemiennego) twierdzenia Grothendiecka przejdziemy do jego nieprzemiennego uoglnienia wg. Kontsevicha i Rosenberga. Okaze sie, ze struktura "danych sklejania" moze byc zakodowana w terminach (bi)komodulow nad koalgebrami. Zdefiniowana zostanie struktura monoidalna (w uogolnionym sensie) na kategorii bikomodulow, bedaca wlasciwym uoglnieniem "iloczynu tensorowego" snopow kwazikoherentnych na przestrzenie nieprzemienne. ciag dalszy

TOMASZ MASZCZYK (Instytut Matematyczny PAN, Instytut Matematyki UW)


15/12/03

NIEPRZEMIENNA "DESCENT THEORY"

ciag dalszy

TOMASZ MASZCZYK (Instytut Matematyczny PAN, Instytut Matematyki UW)


05/01/04

SCHEMAT REPREZENTACJI PRZESTRZENI NIEPRZEMIENNEJ

Pokazemy, ze istnieje schemat reprezentujacy funktor reprezentacji splotowych ustalonego typu przestrzeni nieprzemiennej oraz, ze ma on kanoniczna infinitezymalna geometrie, ktora pozwala skonstruowac pewien kompleks. Pokazemy ze, ustalajac w roli reprezentacji bazowej wlozenie liczb rzeczywistych w liczby zespolone otrzymuje sie w ten sposob kompleks Dolbeault.

TOMASZ MASZCZYK (Instytut Matematyczny PAN, Instytut Matematyki UW)


07/01/04

HEURYSTYCZNE WYTLUMACZENIE CALKOWITEGO KWANTOWEGO EFEKTU HALLA: ARGUMENTY LAUGHLINA I TKN2

Zamierzam przytoczyc fizyczne argumenty podane przez Laughlina i TKN2 dla wyjasnienia calkowitego kwantowego efektu Halla wraz z komentarzem dlaczego nie sa one wystarczajace, ale podkreslajac ich inspirujaca role.

JACEK WOJTKIEWICZ (Katedra Metod Matematycznych Fizyki UW)


01/03/04

CHERN CHARACTER, DIRAC OPERATOR, AND K THEORY FOR DISCRETE GROUPS

This talk will begin with a brief introduction to the Atiyah-Singer Index Formula for the Dirac operator. Then the BC (Baum-Connes) conjecture for discrete groups will be reformulated using the Dirac operator. The universal example for proper actions and Kasparov equivariant K homology are not used. One corollary of this approach is an explicit Chern character for the left side of BC. This Chern character is obtained via the Atiyah-Singer index formula for the Dirac operator. (This talk will have a follow-up next day. See here for details.)

PAUL F. BAUM (Penn State University, USA)


08/03/04

REPREZENTACJE PRZESTRZENI NIEPRZEMIENNYCH

Wyklad poswiecony bedzie algebro-geometrycznym aspektom teorii reprezentacji algebr lacznych. Zostanie podana konstrukcja schematu parametryzujacego reprezentacje ustalonego typu i zbadana struktura algebry Casimira okreslonej na schemacie reprezentacji.

TOMASZ MASZCZYK (Instytut Matematyczny PAN, Instytut Matematyki UW)


10/03/04

ARGUMENT THOULESSA-KOHMOTO-NIGHTINGALE'A-DEN NIJSA (TKN2)

Zamierzam dokonczyc omowienie argumentu TKN2, czyli wyprowadzonego przez nich wzoru na przewodnictwo Halla, z ktorego wynika topologiczny charakter tej wielkosci. Zamierzam rowniez powiedziec o niektorych uogolnieniach pracy TKN2.

JACEK WOJTKIEWICZ (Katedra Metod Matematycznych Fizyki UW)


15/03/04

REPREZENTACJE NIEPRZEMIENNYCH SNOPOW KWAZIKOHERENTNYCH

Korzystajac ze struktury algebry Casimira okreslonej na schemacie reprezentacji konstruujemy DG-kategorie wraz z DG-funktorem z kategorii nieprzemiennych snopow kwazikoherentnych na reprezentowanej przestrzeni nieprzemiennej. Pokazujemy ze kiedy reprezentowana przestrzen jest schematem okreslonym nad C reprezentowanym w Spec C, to otrzymujemy w ten sposob kompleks Dolbeault kategorii snopow kwazikoherentnych.

TOMASZ MASZCZYK (Instytut Matematyczny PAN, Instytut Matematyki UW)


22/03/04

KWATERNIONOWE PUNKTY ROZMAITOSCI RZECZYWISTYCH

Dla rozmaitosci gladkiej Y nad R konstruujemy rozmaitosc gladka X nad R parametryzujaca punkty kwaternionowe rozmaitosci Y oraz kwaternionowy analog kompleksu Dolbeault. Pokazujemy, ze przy przejsciu do przekrojow klasy $C^\infty$ lokalne kohomologie tego kompleksu sa skoncentrowane w wymiarze zero. Obliczamy zerowe kohomologie klasy $C^\infty$ i wsrod nich znajdujemy wszystkie te, ktore wyrazaja sie funkcjami wymiernymi.

TOMASZ MASZCZYK (Instytut Matematyczny PAN, Instytut Matematyki UW)


24/03/04

KONSTRUKCJA INSTANTONOW JAKO REPREZENTACJI WIAZEK NIEPRZEMIENNYCH

Pokazujemy, ze warunek $d^2=0$ na rozniczki kompleksow skonstruowanych na odpowiednich schematach reprezentacji moze byc interpretowany jako uogolnione rownanie samodualnosci dla pol spinorowych.

TOMASZ MASZCZYK (Instytut Matematyczny PAN, Instytut Matematyki UW)


19/04/04

STRUKTURA PRODUKTU SKRECONEGO I REPREZENTACJE GRUPY KWANTOWEJ Uq(2)

W oparciu o twierdzenie Woronowicza podana bedzie konstrukcja grupy kwantowej zwiazanej ze skreconym wyznacznikiem danym przez funkcje liczaca ilosc cykli w permutacjach z S(3). Otrzymana grupa kwantowa to Uq(2). Z konstrukcji wynika w naturalny sposob ze jest ona iloczynem skreconym (twisted product) swoich kwantowych podgrup SUq(2) i U(1). Stad w latwy sposob otrzymuje sie unitarne reprezentacje nieprzywiedlne Uq(2). Opisane beda tez nieprzywiedlne *-reprezentacje C*-algebry tej grupy.

JANUSZ WYSOCZANSKI (Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wroclawski)


26/04/04

HIPERBOLICZNA INTERPRETACJA ULAMKOWYCH LICZB KWANTOWYCH

Jest to streszczenie pracy: Matilde Marcolli, Varghese Mathai, "Twisted index theory on good orbifolds. II. Fractional quantum numbers." z Comm. Math. Phys. 217 (2001) 55--87.

JOLANTA SLOMINSKA (Wydzial Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej)


10/05/04

MODULARNE PARY W INWOLUCJI POCHODZACE OD LOKALNIE ZWARTYCH GRUP KWANTOWYCH

Celem seminarium jest naszkicowanie konstrukcji Connes'a i Moscovici'ego kohomologii Hopf-cyklicznej dla algebry Hopfa stowarzyszonej z topologiczna grupa kwantowa. Pokazane zostanie jak funkcja modularna i automorfizm modularny zwiazane z lewa i prawa miara Haara prowadza do modularnej pary w inwolucji. O ile czas pozwoli, przedstawione zostana konkretne przyklady.

PAWEL L. KASPRZAK (Katedra Metod Matematycznych Fizyki, Uniwersytet Warszawski)


12/05/04

ULAMKOWY KWANTOWY EFEKT HALLA

Seminarium poswiecone jest przegladowi (probom zrozumienia) kilku wybranych (bynajmniej nie wszystkich) matematycznych (mniej lub bardziej majacych zwiazek i odniesienie do fizyki) prob opisu ulamkowego kwantowego efektu Halla. Wyklad oparty bedzie glownie na pracach Carey, Hannabus, Mathai; Xia; oraz Skoulakis, Thomas.

ANDRZEJ SITARZ (Instytut Fizyki UJ)


17/05/04

HOPF FIBRATIONS FROM NONCOMMUTATIVE SPHERES

In this seminar, we will construct a theta-deformation of the SU(2) Hopf fibration on the 4-sphere. First, we recall this classical principal fibration. Then, we introduce the theta-deformed noncommutative spheres, in the sense of Connes and Landi. Using this, we select a noncommutative 7-sphere which carries a coaction of A(SU(2)), in such a manner that the algebra of coinvariants is exactly the algebra of polynomials on the noncommutative 4-sphere. Then we construct associated modules to each irreducible corepresentation of A(SU(2)), and compute their Chern classes. We connect with the general theory of Hopf-Galois extensions by briefly describing the basic notions and by showing that our construction is an example of a principal Hopf-Galois extension.

WALTER VAN SUIJLEKOM (SISSA, Trieste, Italy)


19/05/04

ALGEBRY C* BEZ JEDYNKI

Do opisu niezwartych przestrzeni kwantowych stosujemy algebry C* bez jedynki. Zostana omowione podstawowe pojecia takie jak: algebra mnoznikow, elementy stowarzyszone, morfizmy. Podane zostana przyklady ilustrujace te pojecia.

STANISLAW L. WORONOWICZ (Katedra Metod Matematycznych Fizyki, Uniwersytet Warszawski)