Mówimy, że graf jest lokalnie nieregularny, jeśli każde dwa sąsiednie wierzchołki mają różne stopnie. Referat będzie dotyczył zarówno hipotez dla których znane są już częściowe rezultaty, jak na przykład hipotezy o rozkładzie grafu na trzy podgrafy lokalnie nieregularne, która jest analogiem hipotezy 1-2-3, czy też hipotezy (2,2) mówiącej, że graf spójny o co najmniej czterech wierzchołkach można rozłożyć na dwa grafy, w których możemy rozróżnić sąsiednie wierzchołki sumami za pomocą co najwyżej dwóch kolorów, jak i nowych postawionych niedawno w pracach mojego współautorstwa. Po wstępie dotyczącym hipotezy 1-2-3 wraz z jej analogiem wspomnianym powyżej przedstawimy trzy wersje hipotezy (2,2) oraz rezultaty, potwierdzające te warianty dla wybranych klas grafów. W kolejnej części referatu sformułujemy nowy problem dotyczący lokalnej nieregularności grafów związany z hipotezą (2,2) i hipotezą o rozkładzie grafu na trzy podgrafy lokalnie nieregularne, jak również zaprezentujemy jego częściowe rozwiązanie. W następnej części postawimy hipotezę o rozkładnie multigrafu powstałego z grafu przez podwojenie wszystkich jego krawędzi na dwa multigrafy lokalnie nieregularne i potwierdzimy ją dla wybranych klas grafów. Ponadto podamy ograniczenia górne na liczbę lokalnie nieregularnych multigrafów występujących w rozkładzie dowolnego takiego multigrafu i wybranych klas multigrafów. Na koniec rozważamy dwa nowe sposoby definiowania lokalnie nieregularnego digrafu, sformujemy dwie hipotezy dotyczące rozkładów digrafów na digrafy lokalnie nieregularne i zaprezentujemy szereg rezultatów dla poparcia tych hipotez.

Przedstawione zagadnienia zostały zawarte w mojej rozprawie doktorskiej, której promotorem jest Mariusz Woźniak i powstały we współpracy z grupą badawczą z Ústav matematiky, Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach oraz grupą badawczą z Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique w Bordeaux.