Hyperbolic maps have very well understood dynamics. It was conjectured that they are dense in the space of all interval maps. We shall discuss the proof of this conjecture, given recently by Kozlovski, van Strien and the speaker.
Niech f:(Rn,0)→(R,0) będzie funkcją analityczną (lub kiełkiem funkcji w 0). J. Milnor badał tzw. włókno Milnora f, tj. zbiór f-1(t) obcięty do małej kuli, dla t w pobliżu 0. Okazuje się, że ten zbiór ma takie same grupy kohomologii Čecha-Alexandera co zbiór trajektorii pola wektorowego danego przez gradient funkcji f. Pokazali to Z. Szafraniec i A. Nowel kilka lat temu. Razem z prof. Szafrańcem próbujemy bliżej zbadać związek pomiędzy włóknem Milnora a wspomnianym zbiorem trajektorii. Używamy w tym celu pojęć i metod z pracy K. Kurdyki, T. Mostowskiego i A. Parusińskiego z 2000 roku dotyczącej dowodu hipotezy gradientowej R. Thoma. O tym związku chcę opowiedzieć w referacie.
Moja dalsza praca związana jest z próbą uogólnienia tego wyniku z Rn na rozmaitości analityczne, i być może na szerszą klasę funkcji, tj. funkcje klasy Ck (C1?) definiowalne w strukturze o-minimalnej. Nadzieja na możliwość uogólnień bierze się z faktu przeniesienia pewnych wersji nierówności Łojasiewicza na przypadek o-minimalny, oraz z pracy K. Kurdyki i A Parusińskiego, w której przenoszą pewne metody z wyżej wspomnianej pracy na przypadek o-minimalny.
n-algebrą Liego nazywamy przestrzeń liniową wyposażoną w n-liniową antysymetryczną operację spełniającą pewien analog tożsamosci Jacobiego
W analizie geometrycznych własności odwzorowań wielomianowych istotną rolę odgrywają punkty, w których odwzorowania te są niewłaściwe. Badania w tym kierunku rozpoczął Zbigniew Jelonek na początku lat 90. W mojej pracy doktorskiej uogólniłam jego wyniki zespolone na przypadek ciał algebraicznie domkniętych. W drugiej części pracy analizowałam przypadek rzeczywisty. Za pomocą funkcji algebraicznie konstruowalnych uzyskałam opis zbioru punktów niewłaściwości dla odwzorowań z płaszczyzny rzeczywistej w siebie. O tym opowiem Państwu na spotkaniu.
Jedną z ważniejszych właściwości mechaniki kwantowej jest występowanie korelacji między stanami podukładów układu złożonego niepojawiających się w układach klasycznych. Związane jest to z możliwością konstrukcji tzw. stanów splątanych, co jest bezpośrednią konsekwencją struktury przestrzeni stanów kwantowego układu złożonego oraz liniowości mechaniki kwantowej. Istnienie takich stanów leży u podłoża kilku ,,paradoksalnych" konsekwencji mechaniki kwantowej, takich jak paradoks Einsteina-Podolsky'ego-Rosena oraz łamanie tzw. nierówności Bella.
W ostatnich latach zaproponowano zastosowania stanów splątanych do efektywniejszego przesyłania (tzw. gęste kodowanie, kwantowa teleportacja) i przetwarzania (,,komputery kwantowe") informacji.
Waga stanów splątanych powoduje, iż chcielibyśmy mieć dobre metody opisu i charakterystyki takich stanów. Okazuje się jednak, że nie znamy niezawodnych i efektywnych kryteriów pozwalających na rozstrzygnięcie problemu splątania dowolnego stanu. W czasie wykładu chcę przedstawić kilka problemów matematycznych związanych z geometrią zbioru stanów splątanych, próbami opisu tego zbioru w terminach geometrycznych oraz sposobami produkcji takich stanów.
Badanie pól postaci nabla f, gdzie f jest funkcją (R-)analityczną w Rn, zapoczątkowali w latach 60-tych ubiegłego wieku S. Łojasiewicz i R. Thom. Było to związane z badaniem topologicznych własności zbiorów semi- i sub-analitycznych, których teorię intensywnie w owych latach rozwijano.
Oczywiście interesujące jest badanie zachowania pola nabla f w otoczeniu punktu stacjonarnego (tzn. takiego x, że nabla f(x)=0). W 1962 roku Łojasiewicz pokazał, że punkty graniczne trajektorii pola nabla f to jedynie punkty stacjonarne pola, co więcej, pokazał, że długość trajektorii wpadającej w punkt stacjonarny jest zawsze skończona.
René Thom następnie postawił pytanie: czy taka trajektoria, wpadając w punkt krytyczny x0, ma w x0 dobrze określoną styczną? Problem ten, znany jako hipoteza gradientowa Thoma, był nierozwiązany do lat 90. W 1996 roku prawdziwość hipotezy wykazali T. Mostowski i K. Kurdyka.
W międzyczasie problematyka ,,obrosła" licznymi hipotezami mocniejszymi od hipotezy gradientowej. Wszystkie one dotyczą zachowania pojedynczej trajektorii pola nabla f.
W mojej pracy doktorskiej badam zachowanie się nie pojedynczych trajektorii pola nabla f, ale potoku tego pola, traktowanego jako przekształcenie pomiędzy bliskimi poziomicami funkcji f. Pokazuję, że gdy funkcja f jest funkcją harmoniczną w R³, potok jest przekształceniem stratyfikowalnym, i wskazuję jego stratyfikację. ,,Skutkiem ubocznym" jest pokazanie, że w tym przypadku prawdziwe są wszystkie hipotezy, o jakich wspomniałem poprzednio.
Duże znaczenie algebraicznych własności grup klas odwzorowań (ang. mapping class groups) wynika z faktu, iż stanowią one istotny składnik w konstrukcji przestrzeni moduli jak i w konstrukcji rozmaitości 3- i 4-wymiarowych. W trakcie referatu przedstawię obecny stan wiedzy na temat generatorów tych grup. W szczególności opowiem o niedawno uzyskanych wynikach dotyczących małych zbiorów generatorów składających się z inwolucji oraz zbiorów generatorów składających się z elementów skończonego rzędu.
Przedstawimy pewne wyniki dotyczące algebr z małym wymiarem Gelfanda-Kirillova, algebr Noetherowskich, dziedzin, nil pierścieni i pierścieni radykalnych Jacobsona. Wspomnimy o pytaniach zadanych przez Smalla, Stafforda, Artina i innych, dotyczących algebr Noetherowskich oraz skończenie generowanych algebr z małym wymiarem Gelfanda-Kirillova. Będziemy rozpatrywać tylko pierścienie łączne (nieprzemienne).
Rozważany będzie problem najlepszej osłony przed ryzykiem z uwzględnieniem różnych miar ryzyka. Podane będą warunki wystarczające dla optymalności strategii osłonowej przy dowolnej mierze ryzyka. Zostaną wyprowadzone jawne postaci kontraktów optymalnych w przypadku odchylenia bezwzględnego, półwariancji i innych miar ryzyka.
W czasie referatu będę chciał przedstawić metody (uzyskane wspólnie z Prof. H. Żołądkiem) klasyfikacji krzywych wymiernych o ustalonym typie topologicznym. Metody te, opierające się na twierdzeniu Poincarégo-Hopfa i oszacowaniach wymiaru, pozwoliły na uzyskanie twierdzeń typu Zajdenberga-Lina dla krzywych z jednym punktem w nieskończonosci i charakterystyką Eulera równą 1.
Stogi (franc. "champs algébriques", ang. "stacks") są obiektami zdefiniowanymi przez Deligne'a i Mumforda dla opisania różnych fenomenów w teorii przestrzeni moduli - kluczowych przestrzeni w geometrii algebraicznej i fizyce matematycznej. Grothendieck zwrócił uwagę, że można wykorzystać język stogów do stworzenia pomostu między geometrią algebraiczną a topologią, a zwłaszcza do badania typów homotopijnych. Tematem wykładu będzie "łagodne" wprowadzenie do teorii stogów Grothendiecka. Opowiem też o swoich badaniach w tej dziedzinie.
Problem badania podobieństwa sekwencji biologicznych należy do centralnych problemów biologii obliczeniowej. Chodzi w nim o odkrycie ewolucyjnego powiązania pomiędzy sekwencjami aminokwasów stanowiącymi białka. Na wykładzie omówię problem porównywania dwóch sekwencji wraz ze znanym algorytmem wielomianowym Smitha-Watermana oraz uogólnienie tego problemu na skończoną liczbę sekwencji.
Odpowiedniość McKay'a wiąże własności gładkiego rozwiązania krepantnego osobliwości ilorazowej X=Cn/G dla n=2,3 oraz dla skończonej grupy G C SL(n,C) z teorią reprezentacji G. Ponadto zachodzi równoważność kategorii pochodnej rozwiązania z G-niezmienniczą kategorią na Cn. Po krótkim wprowadzeniu do odpowiedniości McKay'a podam wyniki, które zachodzą w przypadku cyklicznej terminalnej osobliwości ilorazowej typu 1/r(1,a,r-a).
Zaczniemy od klasycznej zasady najmniejszego działania prowadzącej do równań ruchu. Sformułujemy ogólniejszy problem minimalizacji i Zasadę Maksimum Pontriagina. Zdefiniujemy niestandardowe (,,abnormalne") geodezyjne wykryte w r. 1991 (R. Montgomery) i powiemy, co wiadomo o ich istnieniu. Opiszemy rolę tych geodezyjnych jako niezmienników (współzmienników) niecałkowalnych dystrybucji stycznych.
Dla n>1 kompakt Banacha-Mazura - BM(n) to przestrzeń klas izometrii n-wymiarowych przestrzeni Banacha. Pytanie, na które odpowiedziano częściowo, brzmi: czy BM(n) jest homeomorficzny z kostką Hilberta? Ponieważ BM(n) jest homeomorficzny z przestrzenią orbit pewnych działań grup na kostce Hilberta, jest on przykładem zagadnienia z ekwiwariantnej topologii nieskończeniewymiarowej. Inny przykład z tej dziedziny to działania na hiperprzestrzeniach indukowane przez działania na przestrzeniach. Zostanie wyjaśniony związek tych dwóch zagadnień i nakreślony ogólny stan wiedzy dotyczącej powyższej tematyki.
Twierdzenie Liouville'a mówi, że ograniczone funkcje harmoniczne na R(d) są funkcjami stałymi. Uogólnieniom tego twierdzenia poświęcona jest już spora literatura. W wykładzie omówimy kilka uogólnień, które można otrzymać metodami probabilistycznymi.
Na przykładzie teorii struny, teorii Kleina-Gordona oraz elektrodynamiki Maxwella pokażę, jak równania cząstkowe hiperboliczne definiują nieskończeniewielowymiarowe układy hamiltonowskie. Przedyskutuję typowe problemy pojawiające się w hamiltonowskim sformułowaniu teorii pola. W szczególności pokażę, jak definicja energii pola zależy od sposobu kontroli danych brzegowych pola.
Wykład będzie dotyczył szeroko rozumianej tematyki algebr operatorów ze szczególnym zwróceniem uwagi na algebry von Neumanna generowane przez operatory spełniające tzw. ogólne relacje komutacji. Przykłady obejmują kanoniczne relacje komutacji (spełniają je np. operatory różniczkowania i mnożenia przez f(x)=x na L2(R)), kanoniczne relacje antykomutacji (macierze skończeniewymiarowe), oraz algebrę von Neumanna grupy wolnej. Opiszę własności klasy algebr, w której stałe zadające relacje są współczynnikami macierzowymi reprezentacji grupy warkoczowej (relacje jak w grupie permutacji, ale bez założenia, że generatory xi2=1) oraz jej związki z funkcjami dodatnio określonymi na grupie permutacji. Skonstruuję przykłady faktorów typu II i III.
Omówione będą fakty, problemy i rysunki zbiorów Julii i Mandelbrota, ich geometria i wymiar Hausdorffa.
W ostatnich latach rosnącym zainteresowaniem cieszą się tzw. przestrzenie Carnot-Carathéodory'ego i analiza na takich przestrzeniach. Są to przestrzenie Rn z metryką subriemannowską, zadaną przez rodzinę pól wektorowych X1,...,Xk, k≤n, spełniających tzw. warunek Hörmandera. Przykładem takiej przestrzeni jest np. grupa Heisenberga. Pola te w naturalny sposób definiują operator różniczkowy - odpowiednik gradientu. Umożliwia to zbudowanie całej teorii operatorów i równań "eliptycznych" (zwanych de facto subeliptycznymi). Daje to uogólnienie teorii równań eliptycznych na rozmaite zdegenerowane sytuacje.
Na takiej przestrzeni możemy rozpatrywać zwykłą miarę Lebesgue'a, co prowadzi do innego żywego tematu badań - rozwijania analizy harmonicznej na ogólnych przestrzeniach metrycznych z miarą.
Na przypadek operatorów subeliptycznych udało się przenieść bardzo wiele twierdzeń znanych z teorii operatorów eliptycznych. Metody, jakich przy dowodzeniu tych twierdzeń trzeba użyć, są inne - trzeba pokonać wiele trudności związanych z nieprostą geometrią przestrzeni Carnot-Carathéodory'ego.
Inne motywacje do badania operatorów subeliptycznych pochodzą z analizy zespolonej i związane są z problemem obszarów silnie pseudowypukłych. W czasie swojego wykładu chcę w szczególności opowiedzieć o pewnym twierdzeniu dotyczącym regularności rozwiązań układów nieliniowych równań subeliptycznych - stanowi ono rdzeń mojej rozprawy doktorskiej.