Zagadnienie geometrycznych metod w układach dynamicznych stanowi bardzo ważny nurt w nauce. W ostatnich latach nastąpił szczególnie duży rozwój tej dziedziny dzięki połączeniu wyników klasycznej matematyki z osiągnięciami metod numerycznych oraz wykorzystaniu komputerowo wspieranych dowodów w matematyce. Celem mojego odczytu będzie przedstawienie metody relacji nakrywających oraz jej przykładowych zastosowań. W szczególności pokażę, że układ Michelsona y'''=c²-y'-y²/2

• jest Σ₄ chaotyczny dla pewnego przedziału wartości parametru c
• dla przeliczalnego zbioru parametrów c ma parę orbit homoklinicznych typu Shilnikova
• dla przeliczalnego zbioru parametrów c ma orbitę heterokliniczną na połączeniu jednowymiarowych rozmaitości stabilnych i niestabilnych punktów równowagi (±c√2,0,0)
• dla pewnego przedziału wartości parametru c posiada przeliczalnie wiele połączeń heteroklinicznych pomiędzy punktami równowagi (±c√2,0,0)

Będzie też mowa o istnieniu choreografii 3 (i więcej) ciał na krzywej o  kształcie ósemki, patrz animacje na stronie http://www.wsb-nlu.edu.pl/~dwilczak/nbody/nb.html

The study of the geometry of convex bodies based on information about sections and projections of these bodies has important applications in many areas of mathematics and science. We discuss a new Fourier analytic approach. The idea is to express certain geometric properties of bodies in terms of Fourier analysis and to use methods of harmonic analysis to solve geometric problems.

One of the results discussed is the Busemann-Petty problem: if K and L are two origin-symmetric n-dimensional bodies and the (n-1)-dimensional volume of each central hyperplane section of K is smaller than the same for L, is it true that the n-dimensional volume of K is smaller than that of L? The answer is positive for n less or equal to 4, and negative for n greater than 4.

I will talk about the problem that I am currently working on, as a part of my Ph.D. studies: Computation of some geometric objects (Thom polynomials of singularities) using algebraic techniques (theory of Schur functions).

My supervisors are: A. Kisisel (METU) and P. Pragacz (IMPAN).

I will also give some information about mathematical studies and activities in Turkey.

Ostatnio (5 listopada 2005 r.) J. E. Cremona opublikował w Internecie obszerne tablice krzywych eliptycznych, m.in. tablice podające minimalne równania wszystkich takich krzywych o przewodnikach < 130 000. Można je znaleźć pod adresem: http://www.maths.nott.ac.uk/personal/jec

W pierwszej części odczytu chciałbym podać lub tylko omówić definicje niezbędnych pojęć (krzywa eliptyczna, minimalny wyróżnik, przewodnik, izogenia, skręcenie), a w drugiej przedstawić pewne obserwacje zrobione przy przeglądaniu tych tablic.

Rozmaitości Calabi Yau w naturalny sposób pojawiają się zarówno w teoriach matematycznych, jak i w fizyce. Pokażę kilka przykładów tych rozmaitości oraz kilka problemów z nimi związanych.

Będę opowiadał o zjawisku ujemnej korelacji dla kul w Rⁿ. Przez kulę rozumiem tu zbiór środkowosymetryczny, wypukły w Rⁿ. Termin „ujemna korelacja” oznacza tyle, że jeśli losuję punkt z kuli i interesuje mnie prawdopodobieństwo, że wybrana współrzędna jest „duża” (większa niż zadana stała), to prawdopodobieństwo to maleje, jeśli założę dodatkowo, że jakaś inna współrzędna jest duża (czyli innymi słowy, szanse na wylosowanie punktu o ustalonych dwóch dużych współrzędnych są mniejsze niż szanse na wylosowanie dwa razy pod rząd punktu o ustalonej jednej dużej współrzędnej).

Chcę pokazać przykłady i intuicje, dlaczego kule mogłyby mieć taką własność, a także, dlaczego nie wszystkie kule ją mają. Pokażę (głównie na poziomie opowieści, bez dowodów), co wynika z takiego zjawiska (przykładowo uogólnienia Centralnego Twierdzenia Granicznego). Pokażę też, na jakich kulach koncentruję się obecnie i dlaczego są one interesujące (tu osoby, które wiedzą, czym jest kula Orlicza-Musielaka oraz nierówność Brunna-Minkowskiego, chwilę się ponudzą...).

Wszystkie rozumowania, które będę pokazywał, nie będą wymagały żadnej wiedzy oprócz zrozumienia, jak działa przestrzeń Rⁿ (prawdopodobnie seminarium byłoby zrozumiałe również dla studentów drugiego roku matematyki). Omawiany materiał będzie w większości pochodził z moich własnych badań.

Wiele zagadnień teorii osobliwości funkcji i odwzorowań posiada swoje naturalne źrodło w geometrii symplektycznej. Często pomostem pomiędzy analizą a geometrią w badaniu trudnych osobliwości są tzw. niezmienniki symplektyczne, to znaczy własności (różnych obiektów) niezmiennicze względem grupy przekształceń zachowujących strukturę symplektyczną. Wprowadzimy podstawowe pojęcia geometrii symplektycznej i teorii osobliwości, w szczególności klasyfikację osobliwości podrozmaitości Lagrange'a. Sformułujemy uogólnienia twierdzenia Darboux, zbadamy tzw. lokalną algebrę symplektyczną osobliwości krzywych i podamy ich symplektyczną klasyfikację.

Niech E/F będzie krzywą eliptyczną nad ciałem liczbowym. Z odwzorowaniami redukcji r_v:E(F)→E_v(κ_v), gdzie κ_v jest ciałem reszt, wiążą się następujące pytania: Czy punkty, których obrazy w odwzorowaniach redukcji są zależne, też są liniowo zależne? Jaka jest zależność między dwoma punktami, jeżeli rzędy ich obrazów w odwzorowaniach redukcji są zależne? Podobne pytania można stawiać w przypadku rozmaitości abelowych czy K-teorii.

Geometria dużej skali (nazywana również asymptotyczną lub zgrubną) została wprowadzona przez Gromova na początku lat 80-tych jako narzędzie do badania skończenie generowanych grup. Zastosowania jej sięgnęły jednak znacznie dalej - poprzez teorię indeksu na otwartych rozmaitościach Riemannowskich metody geometrii dużej skali posłużyły do częściowego rozwiązania kilku najważniejszych hipotez w dzisiejszej matematyce, w tym hipotezy Novikova.
W referacie postaram się wyjaśnić podstawowe pojęcia i metody geometrii dużej skali.

Referat będzie dotyczył gładkich oraz osobliwych powierzchni del Pezzo. Pokażemy, jakie te powierzchnie mają właściwości oraz jak się je klasyfikuje. Postaramy się również pokazać kilka przykładów ich zastosowań.

Celem odczytu jest elementarne wprowadzenie do niekomutatywnej (nieeuklidesowej) probabilistyki. W tym celu rozpatrzymy *-algebrę z jednością A (np.: C*-algebrę, algebrę von Neumanna), ze stanem t na A, tzn. t(x*x)>0 i t(1)=1.

Algebra A gra rolę uogólnionych zmiennych losowych (obserwabli). Typowym przykładem są algebry grupowe A =C[G], grupy dyskretnej G ze splotem jako mnożeniem, a stan to uogólniona miara Lebesgue'a (zwany śladem von Neumanna), zdefiniowany następująco:

Tutaj sytuacja jest już bardzo ładnie rozpracowana przez wyniki z analizy harmonicznej szkoły wrocławskiej i ostatnie rezultaty D. Voiculescu, Ph. Biane'a, H. Bercovici, K. Dykema i R. Speichera, o których dokładniej opowiem.

Ponadto podamy zastosowania do spacerów losowych na drzewach jednorodnych, które są grafami Cayleya grup wolnych i otrzymamy klasyczne wyniki H. Kestena.

Związki z nowymi konstrukcjami algebr von Neumanna - faktorów typu II i problemem istnienia nietrywialnej podprzestrzeni niezmienniczej dla operatora na przestrzeni Hilberta będą także widoczne.

Jeżeli czas pozwoli, to podamy ostatnie wyniki łączące algebrę macierzy losowych z wolną probabilistyką i hipotezą Riemanna - wyniki Odlyzki, Haagerupa, Katza i Sarnaka.

1. M. Bożejko, B. Kummerer, R. Speicher, q-Gaussian processes: non-commutative and classical aspects, Comm. Math. Phys. 185 (1997), 129-154.
2. F. Hiai, q-Deformed Araki-Woods algebras, Operator algebras and Mathematical Physics, 2003, Bucharest.
3. F. Hiai, D. Petz, The Semicircle Law, Free Random Variables and Entropy, Math. Surveys Monogr. 77, AMS, 2000.
4. D. Shlyakhtenko, Some applications of freeness with amalgamation, J. Reine Angew. Math. 500 (1998), 192-212.
5. P. Śniady, R. Speicher, Continuous family of invariant subspaces for R-diagonal operators, Invent. Math. 146 (2001), 329-363.
6. D. Voiculescu, K. Dykema, A. Nica, Free Random Variables, CRM Monogr. Ser. 1, AMS, 1992.

Jednym z głównych zadań geometrii algebraicznej jest opisywanie rozmaitości algebraicznych za pomocą równań. W moim odczycie będę zajmował się problemem znajdowania globalnych równań dla fundamentalnych dla teorii przecięć „rozmaitości diagonalnych” w terminach znikania przekrojów wiązek wektorowych. W badaniach nad tym problemem znajdują zastosowanie rozmaite techniki współczesnej geometrii algebraicznej.

Struktury Engela są najbardziej niecałkowalnymi dystrybucjami wymiaru 2 na rozmaitościach wymiaru 4. Zawierają one tzw. foliację charakterystyczną, a ich istnienie determinuje paralelizm rozmaitości. Są też jedynymi (oprócz potoków nieosobliwych i struktur kontaktowych) dystrybucjami stabilnymi (w pewnym sensie). Omówimy najprostsze przykłady i niedawne (2004) twierdzenie Vogela o istnieniu struktur Engela na wszystkich paralelizowalnych 4-rozmaitościach. Pokażemy przykład struktury Engela o foliacji charakterystycznej posiadającej bogatą dynamikę.

Jak dobrze wiadomo, każdą skończenie generowaną algebrę przemienną z jedynką i bez elementów nilpotentnych określoną nad ciałem algebraicznie domkniętym można utożsamić z algebrą funkcji wielomianowych na pewnej afinicznej rozmaitości algebraicznej. Przy tym punkty tej rozmaitości odpowiadają wzajemnie jednoznacznie jednowymiarowym reprezentacjom danej algebry.

Próba powtórzenia tej konstrukcji dla algebr nieprzemiennych rozbija się o następującą trudność: im bardziej złożona jest dana algebra, tym bardziej złożone są jej reprezentacje i tym trudniej je sparametryzować za pomocą rozmaitości algebraicznej.

W odczycie zamierzam przedstawić sposób obejścia tej trudności. Powstające przy tym rozmaitości algebraiczne wyposażone są w kanoniczną geometrię, która uogólnia pewne klasyczne struktury występujące w arytmetyce, geometrii różniczkowej i klasycznej teorii pola. Odwrotnie, te struktury prowadzą do kanonicznej konstrukcji algebry (różniczkowej z gradacją), na ogół nieprzemiennej, która może być traktowana jako aproksymacja wyjściowej algebry. Jeżeli starczy czasu, przedyskutujemy związek tej konstrukcji z zagadnieniem kwantowania geometrii.

Kryptologia, jako dziedzina badań, stale rozwija się przez wprowadzanie nowych pojęć i metod, korzystając przy tym z wyników wielu gałęzi matematyki i informatyki.
Przedstawimy podstawowe pojęcia i rezultaty kryptologii – nauki o szyfrach – oraz podamy kilka przykładów jej obecnych i przyszłych zastosowań.

Planowane jest przedstawienie kilku fundamentalnych wyników z ergodycznej teorii procesów Markowa: warunku Wolfganga Doeblina, procesów Harrisa i metody splittingu wprowadzonej równocześnie przez E. Nummelina i we wspólnej pracy K. B. Athreya i P. Neya. Te warunki mają istotne znaczenie przy rozwiązywaniu ergodycznych problemów sterowania stochastycznego: w tym sterowania z kryterium średni koszt na jednostkę czasu i sterowania wrażliwego na ryzyko na długim okresie czasowym. W miarę wolnego czasu być może będą przedstawione również pewne wyniki związane z normą Hilberta i jej wykorzystaniem do asymptotycznej analizy zagadnień z częściową obserwacją.