We investigate the problem of an adaptive parameter choice for regularization learning algorithms. In the theory of ill-posed problems there is a long history of choosing regularization parameters in optimal way without a priori knowledge of a smoothness of the element of interest. But known parameter choice rules cannot be applied directly in Learning Theory. The point is that these rules are based on the estimation of the stability of regularization algorithms measured in the norm of the space where unknown element of interest should be recovered. But in the context of Learning Theory this norm is determined by an unknown probability measure, and is not accessible.

In the talk we are going to present a new parameter choice strategy consisting in adaptive regularization performed simultaneously in a Hypothesis space and in a space equipped with an empirical norm. Both these spaces are accessible and a new parameter choice rule called the balancing principle can be used there. Then a parameter for the regularization in the inaccessible space is chosen as the minimal among the parameters selected for above mentioned accessible spaces. We prove that under rather mild assumptions such strategy guarantees an optimal order of the risk. Our analysis covers the capacity independent learning algorithms, but some capacity dependent results can be also obtained in a similar way. Before the presentation of the main results we will give a brief introduction to Statistical Learning Theory.

Zamierzam przedstawić wprowadzenie do teorii iteracyjnych układów funkcyjnych, szczególnie związki własności geometrycznych z teoriomiarowymi (twierdzenie Schiefa i jego uogólnienia, twierdzenie Peresa i Schlaga w różnych wersjach).

Języki regularne to własności słów takie jak np. "słowo ma przynajmniej dwie litery", "po pierwszej literze A w słowie wszystkie następne litery to B albo C", lub wreszcie "ilość liter w słowie jest parzysta". Języki regularne są definiowane poprzez tzw. automaty skończone, które przypominają łańcuchy Markowa. Na początku lat 60-tych Buchi odkrył, że automaty mają dokładnie tę samą siłę wyrazu co logika monadyczna drugiego rzędu. Omówię ten wynik oraz szereg podobnych.

Na seminarium, po krótkim historycznym wstępie, chciałbym przedstawić najnowsze dane obserwacyjne, z których wynika, iż wszechświat jest zdominowany przez ciemną materię - najprawdopodobniej jakieś egzotyczne cząstki, które nie zostały dotychczas bezpośrednio odkryte - i ciemną energię niewiadomego pochodzenia o egzotycznych własnościach.

W 1931 r. Nöbeling udowodnił, że podprzestrzeń N_n²ⁿ⁺¹\subset R²ⁿ⁺¹ składająca się z punktów, które mają co najwyżej n współrzędnych wymiernych, jest przestrzenią uniwersalną dla ośrodkowych przestrzeni metrycznych wymiaru nie większego niż n. (Przypomnijmy, że przestrzeń X nazywamy przestrzenią uniwersalną dla klasy K przestrzeni topologicznych, jeśli X\in K i każda przestrzeń z klasy K jest homeomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni X).

Pokażemy podobną do wykonanej przez Nöbelinga konstrukcję w iloczynie n+1 lokalnie spójnych kontinuów metrycznych bez wolnych łuków. Usuwając z tego iloczynu pewien zbiór typu F_σ dostaniemy n-wymiarową przestrzeń zawierającą homeomorficzny obraz każdej n-wymiarowej przestrzeni metrycznej ośrodkowej.

Dla operatora liniowego T na skończeniewymiarowej (zespolonej) przestrzeni wektorowej prawdziwy jest wzór

(*)                 trT=∑λ_j(T),

gdzie λ₁(T),λ₂(T),… są wszystkimi wartościami własnymi T (z krotnościami).

W nieskończeniewymiarowych przestrzeniach (Banacha) definiuje się klasę operatorów nuklearnych i powstaje pytanie, czy wzór (*) jest spełniony dla wszystkich operatorów nuklearnych. Chociaż ten problem był rozpatrywany od zarania analizy funkcjonalnej (pocz. XX wieku), do lat 50-tych praktycznie nic nie było wiadomo. W latach 50-tych Grothendieck pokazał, że prawdziwość (*) jest związana z tzw. własnością aproksymacji: przestrzeń X ma własność aproksymacji, jeżeli każdy operator zwarty na X jest granicą jednostajną operatorów skończeniewymiarowych.

W 1959 Lidskii uzyskał pierwszy konkretny rezultat, pokazując, że w przestrzeni Hilberta wzór (*) jest spełniony dla wszystkich operatorów nuklearnych.

Obecnie wiadomo, że tę własność mają tylko przestrzenie, które są „bardzo bliskie przestrzeniom Hilberta”, ale jednak istnieją przestrzenie o tej własności, nieizomorficzne z przestrzenią Hilberta, tzw. słabe przestrzenie Hilberta.

Pokażę, w jaki sposób można odtworzyć funkcję na trójwymiarowej kuli, gdy znana jest jej pewna, bardzo ciekawa transformata całkowa. Problem ten jest analogiczny do „odwrotnej transformaty Radona” używanej w tomografii. Okazuje się, że nasz problem wiąże się z osobliwym („singularnym”) zagadnieniem początkowym dla równania falowego oraz z problemem opisu promieniowania w teorii względności. Do jego rozwiązania posłuży naturalna struktura symplektyczna, w którą wyposażona jest przestrzeń wszystkich funkcji spełniających równanie falowe. Rozwiązanie to pozwala na głęboką analizę problemu promieniowania.

In course of his study of the Hilbert 14th problem, in 1959 Nagata posed the following question:

Given a set of points P₁,...,P_r in general position in the projective plane and positive integers m₁,...,m_r, what is the least degree d of a curve passing through the given points with prescribed multiplicities?

Nagata proved that d>1/(√r) (m₁+...+m_r) if r≥9 and r is a square. He conjectured that this inequality holds always, provided r≥9.

The conjecture remains so far open. I will put the Nagata Conjecture in a more general perspective concerned with the behavior of Seshadri constants. I will also discuss its connections with apparently distant problems in mathematics e.g. symplectic sphere packing and the structure of the nef cone on surfaces of type C×C, with C a smooth curve.

We study control-affine systems with n-1 inputs evolving on an n-dimensional manifold for which the distribution spanned by the control vector fields is involutive and of constant rank (equivalently, they may be considered as 1-dimensional systems with n-1 inputs entering nonlinearly). We provide a complete classification of such generic systems and their one-parameter families. We show that a generic family for n>2 is equivalent (with respect to feedback and orbital feedback transformations) to one of nine canonical forms which differ from those for n=2 by quadratic terms only. We also describe all generic bifurcations of 1-parameter families of systems of the above form.

West Nile (WN) virus is an infectious disease spreading through interacting bird and mosquito populations in North America. In the subsequent 5 years the epidemic has spread spatially across to most of the west coast of North America. It is likely that the spread of WN virus comes from the interplay of disease dynamics and bird and mosquito movement.

Here we mathematically investigate the spread of WN virus by spatially extending the non-spatial dynamical model of Wonham et al. to include diffusive movement of birds and mosquitoes. Diffusive movement provides the simplest possible movement model for birds and mosquitoes. Our approach is to focus on the implications of diffusive motion coupled to a dynamical model for WN virus. Infection dynamics are based on a modified version of a model for cross infection between birds and mosquitoes.

Working with a simplified version of the model, the co-operative nature of cross-infection dynamics is utilized to prove the existence of traveling waves and to calculate the spatial spread rate of infection. One of the important tools we use is the basic reproduction number.

Zostanie omówiona metoda wyznaczania współczynników rozwinięć funkcji w szeregi funkcyjne, wprowadzona przez Józefa Hoene-Wrońskiego na początku XIX wieku („szereg uniwersalny”), której szczególnymi przypadkami były wszystkie znane ówcześnie rozwinięcia. Zostaną przedstawione zastosowania tej metody do wyznaczania rozwinięcia funkcji odwrotnej do zadanej funkcji analitycznej (uogólniony szereg Lagrange'a) i konstrukcji ciągu zbieżnego do pierwiastka równania algebraicznego. Rezultaty Hoene-Wrońskiego, zapomniane na długo, odkrywane były wielokrotnie, ale znacznie później, przez innych matematyków. W dzisiejszej terminologii matematycznej z nazwiskiem Hoene-Wrońskiego na trwałe związane jest pojęcie wrońskianu, odkrytego przez niego właśnie przy okazji badań nad „szeregiem uniwersalnym”.

Algebraic geometry is based on polynomial algebras.

A polynomial algebra is a free object in the category of commutative algebras. Other types of geometry, like noncommutative geometry, can be based on other types of algebras and their free objects, like associative algebras.

The ad hoc tool is the notion of algebraic operad. After introducing the basics of operad theory, I will show how to handle the notions of cohomology, bialgebra, smoothness in the operadic geometry setting.

Though most of the motivation comes from geometry and topology, new links from computer sciences are now expanding.

I will overview algebraic geometry arising from the study of binary symmetric trivalent phylogenetic trees. The problems discussed will involve graphs, Markov processes, group actions and their invariants, and (almost) elementary geometry of lattice polytopes.

Model dyfuzyjny neuronu jest popularnym od lat i uznanym modelem neuronu biologicznego. Model ten można uzyskać z modelu impulsującego, bliższemu realności biologicznej, poprzez odpowiednie przejścia graniczne. Współczynniki modelu dyfuzyjnego mają więc interpretacje biologiczne poprzez swojego "przodka" impulsującego, który można zapisać w postaci równań skokowo-dyfuzyjnych. Uproszczeniem modelu dyfuzyjnego jest z kolei np. model neuronu, powszechnie stosowany w sieciach neuronowych.

Zbadamy własności modelu dyfuzyjnego niezbędne dla wprowadzenia w nim mechanizmów uczenia. Typowy model uczenia neuronu polega na modyfikacji wag impulsów w równaniu skokowo-dyfuzyjnym. Modyfikacja taka nie jest jednak łatwa do przeniesienia na model dyfuzyjny. Model dyfuzyjny o wagach zmiennych w czasie "nie może się uczyć" i nie może zatem być rozumiany jako przypadek graniczny modelu impulsującego. W rezultacie ciąg modelowania: neuron biologiczny - neuron impulsujący (skokowo-dyfuzyjny) = neuron dyfuzyjny - neuron sieciowy jest przerwany dla modeli z uczeniem.

Model dyfuzyjny, wzbogacony o losowy mechanizm ładunków przenoszonych przez impulsy, nie ma już powyższej wady.

Teoretyczna informatyka coraz częściej wymaga zaawansowanych narzędzi matematycznych. Wykorzystanie logiki, algebry czy teorii liczb nie budzi już zdziwienia, jednak zastosowania teorii mnogości i topologii są mniej znane. Postaram się przybliżyć słuchaczom tę tematykę na przykładzie zagadnienia topologicznej złożoności podzbiorów zbioru Cantora rozpoznawanych przez automaty.

I will present some basic results concerning the concentration of measure phenomenon, which has recently gained much attention in various, sometimes quite distant, fields of mathematics. I am going to focus mainly on connections with the isoperimetric inequalities. In particular I will speak about the isoperimetric problem in the Euclidean space (the classical case), the sphere and in the Gauss space.

Każdy z nas przynajmniej raz w życiu trzymał w ręku taśmę mierniczą nazywaną w języku potocznym metrówką. Każdy też zgodzi się zapewne z poglądem, iż jest ona niezwykle przydatna w wielu poważnych pracach budowlanych i konstruktorskich. W moim seminarium będę mówił o hertzówce - odpowiedniku metrówki służącym do pomiarów odległości w dziedzinie częstości. Opowiem o fizycznych podstawach działania tego urządzenia oraz jego zastosowaniach, między innymi w budowie zegarów atomowych nowej generacji.

Opowiem o słynnym paradoksie Banacha-Tarskiego o podwojeniu kuli. W tym celu przedstawię najpierw szereg przydatnych definicji i drobnych faktów, a także przypomnę potrzebne pojęcia z algebry. Następnie zaprezentuję szkic dowodu, zwracając szczególną uwagę na rolę, jaką pełni grupa wolna o dwóch generatorach. Będę się starała mówić w sposób lekki, łatwy i - przede wszystkim - zrozumiały dla wszystkich doktorantów, niezależnie od dziedziny zainteresowań. Zapraszam.

Podczas wykładu spróbuję przekonać słuchaczy, że grupy K-teorii Quillena, niezależnie od tego jak abstrakcyjnie zdefiniowane, są przydatne przy rozwiązywaniu klasycznych problemów algebraicznej teorii liczb, takich jak hipotezy Vandivera i Iwasawy o grupach klas ideałów ciał cyklotomicznych.
The talk will be in English!

The core problem of approximation continues to be the development of efficient methods for replacing general functions by simpler functions. Some methods were invited long ago (Fourier sums, Taylor polynomials, best approximation by trigonometric or algebraic polynomials etc.). More recently however, driven by several numerical applications, the directions of approximation theory have moved toward nonlinear approximation. This includes the comparatively new subject of nonlinear m-term approximation. It has found applications in numerical solution of integral equations, image compression, design of neural networks, and so on.

The basic idea behind nonlinear approximation is that the elements used in the approximation do not come from a fixed linear space but are allowed to depend on the function being approximated. The fundamental question of nonlinear approximation is how to construct good algorithms of nonlinear approximation.

Systolic complexes are simply connected simplicial complexes satisfying certain local combinatorial condition, resembling nonpositive curvature. However, systolicity neither implies, nor is implied by nonpositive curvature of the complex (equipped with the standard metric). In my talk I will present a short sketch of the theory of systolic complexes and prove a systolic analogue of the classical theorem in the theory of nonpositively curved metric spaces - the flat torus theorem.

Asymptotic dimension of Gromov is a large scale analog of the covering dimension. A paracompact space X is of covering dimension dim(X) at most n if every open cover of X admits an open refinement whose multiplicity is at most n+1 (each point of X belongs to at most n+1 elements of the refinement). A metric space X has asymptotic dimension asdim(X) at most n if for every positive r the family of all r-balls refines a cover of X of multiplicity at most n+1 and a uniform bound on diameters of its members. In case of a finitely generated group G the asymptotic dimension does not depend on the word metric. Therefore it is a group invariant.

Asymptotic dimension gained attention since G. Yu proved the Strong Novikov Conjecture for finitely presented groups G of finite asdim(G) (and gave a talk at ICM in Madrid this year). The Novikov conjecture concerns the homotopy invariance of certain polynomials in the Pontryagin classes of a manifold, arising from the fundamental group. According to the Novikov conjecture, the higher signatures, which are certain numerical invariants of smooth manifolds, are homotopy invariants. The Strong Novikov conjecture states that the analytic assembly map on K-theory is injective.

I will also discuss variants of asymptotic dimension (Assouad-Nagata dimension, Higson property) and their connection to Lipschitz extensions.