I will take the example of a one dimensional system of anharmonic oscillators (like the Fermi-Pasta-Ulam model) to explain the macroscopic evolution under hyperbolic or diffusive scaling of space-time. I will also illustrate the precise definition of local equilibrium, the connection with the „ergodicity of the infinite system”, the time evolution of thermodynamic entropy and the „second principle of thermodynamics”.

Na przykładzie „banalnego” zjawiska, jakim jest opadanie cząstek zawiesiny w polu grawitacyjnym, omówię stan współczesnej fizyki statystycznej. Matematyka dostarcza nam pięknego narzędzia, jakim jest rachunek prawdopodobieństwa. Nie daje nam jednak, w przypadku zjawisk fizycznych, przepisu na określenie prawdopodobieństw zdarzeń elementarnych. Taki przepis jest podstawowym zadaniem fizyki statystycznej i są z tym poważne problemy.

I shall speak about algebraic varieties being projective, fulfilling Chevalley Condition or having finitely many maximal quasi-projective open subsets. I will start by giving the basic definitions and introducing known results and follow with a relatively simple example of a non-projective surface fulfilling Chevalley Condition and thus having infinitely many maximal quasi-projective open subsets. I will use mainly elementary methods and should be at least partially understood by a broad audience.

A version of the selection problem is considered. The ranks of items, whose values are independent, identically distributed random variables X₁,X₂,...,X_n from a uniform distribution on [0;1], are observed sequentially by graders. They have to select exactly one item, when it appears, and receives a payoff which is a function of the unobserved realization of random variable assigned to the item diminished by some cost.

It is an inverse to the Robbins' problem in which the values of random variables are observed and the aim is to minimize expected rank. Both problems will be subject of analysis on the lecture.

These problems have long history but still are open questions and perspective of further research on foundations of the problems and their applications.

I shall speak about a linear second order ordinary differential equation called Heun's equation. Its solution, Heun's function, is a classical linear special function. I shall present some properties of solutions to Heun's equation and explain relation to a nonlinear special function, the Painlevé transcendent.

I will start with giving an introduction to the mathematical theory of compressible flow. I will explain briefly how the Navier-Stokes equations are derived and present known results for the Navier-Stokes system for compressible flows. These results, that are mainly due to E. Feireisl and P.-L. Lions, are now considered classical, but they were developed quite recently, mainly in the years 1990-2000. In the second part of my talk I will shortly present the topic of my phd dissertation concerning the steady compressible flow with slip boundary conditions and the results I have obtained in the last two years.

Let {S_i} be a set of similarities in R^d, we call this set as an iterated function system (IFS). We will study some properties of the "self-similar" measure of the IFS. We will define the Hausdorff dimension and the local dimension of this measure and we will study the Hausdorff dimension of the points, where the local dimension is given. We will give a formula and prove it.

W referacie przedstawię podstawy teorii procesów gałązkowych. Są one jednym z podstawowych narzędzi modelowania różnorakich zjawisk. Narzędzia z tej teorii są szczególnie użyteczne w biologii ewolucyjnej i ekologii, gdzie służą za podstawę do modelowania drzew genealogicznych. W pierwszej części referatu przestawię, klasyczne już, wyniki dotyczące drzew Galtona-Watsona, prawdopodobieństw wymarcia, ciągłych procesów Markowa z rozgałęzianiem itd. W drugiej części pojawią się tytułowe cząstki i układy blisko związane z teorią procesów gałązkowych. Zaprezentuję zagadnienia i wyniki z aktualnego frontu badań, takie jak zagadnienia związane z wymieraniem lokalnym, superprocesy, czasy przebywania i ich fluktuacje. Tematy te są interesujące także ze względu na różnorakie i często wyrafinowane techniki dowodowe. Jeśli mi się uda, to wspomnę o niektórych metodach analitycznych i nowoczesnych metodach opartych na "sterowaniu zachowaniem cząstek" (spine methods).

We say that a mathematical statement is absolute if whether it is true or false does not depend on the universe we live in. I would like to show basic examples and applications of absolute statements. I will show for example how to use absoluteness to prove that any analytic set on the real line is Lebesgue measurable.

The D. Egorov and N. Luzin structure theorems for measurable functions are fundamental for Real Analysis and the theory of Function Spaces. In the lecture we will discuss the connections of Egorov--Luzin theory with the H. Whitney theory of smooth functions on closed subsets of Rⁿ and the extension of Denjoy--Marcinkiewicz--Zygmund theory of approximate Peano differentiability to arbitrary measurable subsets of Rⁿ.

We will discuss some applications of probabilistic methods in enumerative combinatorics. As an illustration we present a limit theorem for the number of parts in a random integer partition into parts whose sizes are restricted to a proper subset of natural numbers.

If u is a harmonic function on a unit disc and v is its conjugate vanishing at 0, then, as proved by Riesz, the p-th norm of v is controlled by a p-th norm of u, p>1. For p=1, Kolmogorov established the corresponding weak type estimate. During the talk we will explain the connections between the best constants in these inequalities and certain optimal stopping problems for two-dimensional Brownian motion. Furthermore, we will present the extensions of the results above to the case of orthogonal harmonic functions on Euclidean domains.

I will present a very brief introduction to the theory of Borel reducibility, which can be thought of as a novel and powerful approach to classification (and non-classification) problems. After defining basic notions and stating some of the fundamental results, I will discuss examples coming from topology, group theory, metric spaces and functional analysis to illustrate how the theory of Borel reducibility is applied in various branches of mathematics.

Moim celem jest zasygnalizowanie zjawisk fizycznych występujących w procesach krystalizacji i naszkicowanie metod matematycznych potrzebnych w analizie pojawiających się modeli.

Naszym punktem wyjścia jest klasyczne zagadnienie Stefana. Dopiero poprawka Gibbsa-Thomsona, uwzględniająca krzywiznę wzrastającej powierzchni, prowadzi do bardziej odpowiedniego opisu zjawiska. Przy okazji pojawia się też potrzeba badania potoku średniej krzywizny ważonej. Jest to nieliniowe równanie paraboliczne. W ciekawych fizycznie przypadkach jest ono nie tylko zdegenerowane, ale i jednocześnie osobliwe. Okazuje się ono mieć bliskie związki z równaniami Hamiltona-Jacobiego, które są pierwszego rzędu. Co ciekawe, jest silny nurt w literaturze fizycznej poświęconej procesom napylania, w którym równania transportu Hamiltona-Jacobiego odgrywają kluczową rolę.

Uncertainty relations highlight the unusual features of quantum theory. The traditional formulation employs straightforward mathematics (Schwartz inequality) but it has some deficiencies. In this lecture I will use the Shannon and Renyi entropies to remove some of the shortcomings of the standard form of uncertainty relations. The new form of the uncertainty relations requires more sophisticated mathematics. I will also mention some open problems.

W wykładzie omówimy pokrótce, co nazywamy ruchem Browna na fraktalach i jak go można skonstruować. Nastepnie pokażemy, jakie przestrzenie funkcyjne (obiekt analityczny) w naturalny sposób można związać z ruchem Browna (obiektem probabilistycznym).

Lie idempotents are powerful tools in algebra, combinatorics, and topology. We will recall two well-known Lie idempotents, namely the Eulerian idempotent and the Dynkin idempotent, and give two applications. The first application is in algebra, where the Eulerian idempotent can be used to split the cyclic homology. The second application is in harmonic analysis where the interplay of the both idempotents is used to construct explicitly all solutions of the first equation of the Kashiwara-Vergne conjecture.

Podstawowe problemy w teorii układów hamiltonowskich dotyczą badania istnienia i krotności rozwiązań periodycznych oraz homo- i heteroklinicznych. W metodach wariacyjnych tego typu rozwiązania są punktami krytycznymi pewnych funkcjonałów określonych na odpowiednio dobranych przestrzeniach funkcyjnych. Przedstawione zostaną wybrane klasyczne metody znajdowania punktów krytycznych takich funkcjonałów.

In my talk I will focus on finite-time blow-up's for some nonlinear parabolic equations and systems. Explosions of solutions to parabolic (possibly degenerated) systems attract the attention of mathematicians (and not only) for several reasons. The most classical one is that it is an argument for non-existence of solutions to parabolic problems. On the other hand more recent interests in this area are connected with possible applications to differential geometry (see for instance the famous Perelman's proof of Poincaré's conjecture). Astrophysicists interprete finite time blow-up of the systems of self-gravitating particles as gravitational collapse, biologists want the aggregation phenomenon to be described in this way.

My talk will start with some basic results concerning finite-time blow-up for semilinear heat equation in a bounded domain with either Neumann or Dirichlet zero boundary conditions. As a next step I intend to include the energy-dependent condition for initial data providing occurence of finite-time singularity. Next I'm going to review some recent results (Jazar, Kiwan, Ann. Inst. H. Poincaré, Anal. Nonl. 2008) on the study of the semilinear heat equation preserving the mass. At the end I would like to describe some recent results on finite-time singularities in a quasilinear Smoluchowski-Poisson system.

Teoria obrotu ma swoje korzenie w teorii liczb obrotu dla homeomorfizmów okręgu, stworzonej przez Poincarégo. Jest ona szczególnie użyteczna dla studiowania i klasyfikacji orbit okresowych układów dynamicznych. Zajmuje się ona średnimi ergodycznymi i ich granicami, jak teoria ergodyczna, ale dla wszystkich punktów, nie tylko dla prawie wszystkich. Zaprezentuję główne idee teorii obrotu oraz jej zastosowania do badania niektórych klas układów dynamicznych.