We shall present recent identities and inequalities related to jump Levy processes, such as the Douglas identity, the Hardy-Stein identity, optimal Hardy inequalities (for stable processes). We will then show some applications: e.g. to trace and extension theorems for nonlocal operators, estimates for Schroedinger semigroups for fractional Laplacian with Hardy-type potential.

Omówimy uzyskane w ostatnich latach nierówności i tożsamości związane ze skokowymi procesami Levy'ego, takie jak tozsamość Douglasa, tożsamość Hardy'ego-Steina, optymalna nierówność Hardy'ego dla procesów stabilnych. Następnie pokażemy ich zastosowania, np. do twierdzeń o rozszerzaniu i śladzie dla operatorów nielokalnych, oszacowań dla półgrup Schroedingerowskich dla ułamkowego laplasjanu z potencjałem typu Hardy'ego.

Przedstawione wyniki powstały we współpracy m.in. z: Krzysztofem Bogdanem, Michałem Gutowskim, Tomaszem Grzywnym, Tomaszem Jakubowskim, Julią Lenczewską, Arturem Rutkowskim.

The results were obtained in cooperation with Krzysztof Bogdan, Michał Gutowski, Tomasz Grzywny, Tomasz Jakubowski, Julia Lenczewska, Artur Rutkowski and others.