Analiza funkcjonalna - rok akademicki 2023/2024
Egzamin ustny odbędzie się we wtorek 25 VI od godziny 10:00 w pokoju 1224.
Lista osób na egzamin ustny.
Zakres materiału na egzamin ustny (całość).
Kolokwium poprawkowe odbędzie się w czwartek 20 VI w godzinach 10:00 - 12:00 w sali 1222 (budynek nr 12).
W dniu 19 IV o godz. 9:45 (podczas ćwiczeń) odbędzie się I kolokwium. Zadania przygotowawcze przed I kolokwium. Zadania z I kolokwium.
W dniu 14 VI o godz. 9:45 (podczas ćwiczeń) odbędzie się II kolokwium. Zadania przygotowawcze przed II kolokwium. Zadania z II kolokwium.
Wyniki kolokwiów i zaliczenie ćwiczeń.
Tematyka wykładów:
- 1. Przestrzenie liniowe, przestrzenie metryczne, przestrzenie zupełne przestrzenie unormowane, normy i półnormy, przestrzenie Banacha.
- 2. Nierówność Holdera i Minkowskiego, przestrzeń Banacha L^p.
- 3. Przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej Hausdorffa i funkcji mierzalnych istotnie ograniczonych, przestrzeń ośrodkowa.
- 4. Operatory liniowe w przestrzeniach Banacha, operatory ograniczone twierdzenie Banacha o operatorach liniowych ciągłych.
- 5. Przestrzeń operatorów liniowych ciągłych, przestrzeń sprzężona.
- 6. Twierdzenie Baire'a, twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym i o domkniętym wykresie.
- 7. Twierdzenie Banacha-Steinhausa dla ciągu operatorów liniowych ciągłych.
- 8. Funkcjonały Banacha, twierdzenie Hahna-Banacha, twierdzenie o rozszerzaniu funkcjonałów liniowych ciągłych.
- 9. Twierdzenie Mazura o oddzielaniu, przestrzenie izometrycznie izomorficzne.
- 10. Iloczyn skalarny, przestrzeń unitarna, nierówność Schwarza i tożsamość równoległoboku, przestrzeń Hilberta.
- 11. Nierówność Bessela, twierdzenie Riesza-Fischera, równość Parsevala, ortogonalizacja Grama-Schmidta.
- 12. Funkcjonały liniowe ciągłe, twierdzenie o zbiorze wypukłym w przestrzeni Hilberta, twierdzenie o rzucie ortogonalnym, twierdzenie Riesza o postaci funkcjonału liniowego ciągłego w przestrzeni Hilberta.
- 13. Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Hilberta, topologia słaba i słaba wstecz, przestrzenie refleksywne.
- 14. Operatory sprzężone, operatory H-sprzężone, operatory hermitowskie i unitarne.
- 15. Elementy teorii spektralnej: wartości własne, spektrum i rezolwenta operatora liniowego, promień spektralny operatora.
Proponowana literatura:
Wykład:
- 1. M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach space theory, Springer, New York.
- 2. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa.
- 3. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa.
- 4. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa.
Ćwiczenia:
- 1. S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa.
- 2. J. Rusinek, Zadania z analizy funkcjonalnej z rozwiązaniami, UKSW, Warszawa.
Zaliczenie ćwiczeń: dwa kolokwia.
Egzamin: ustny.
Ostatnia aktualizacja: 2024-06-22
Sławomir Michalik