Analiza matematyczna II - rok akademicki 2023/2024

Egzamin poprawkowy pisemny odbędzie się w sobotę 14 września w godzinach 12:00 - 14:00 w sali 114 bud. 21, a ustny w poniedziałek 16 września od godziny 10:00 w 1224.

Egzamin będzie się składał z części pisemnej (zadania) i ustnej (teoria).

Egzamin pisemny odbędzie się w piątek 21 czerwca w godzinach 10:00 - 12:00 w sali 108 w budynku 21.
Egzamin ustny odbędzie się w poniedziałek 24 czerwca od godziny 9:00 i we wtorek 25 czerwca od godziny 13:00 w pokoju 1224.

Zakres materiału na egzamin ustny (całość).

Przykładowe zadania: część I, część II, część III, część IV, część V, część VI.

Tematyka wykładów:

1. Zasadnicze twierdzenie algebry.
2. Ciągi i szeregi funkcyjne: zbieżność punktowa i jednostajna, warunek Cauchy'ego.
3. Kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów fukcyjnych, wielomiany Bernsteina i twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami.
4. Twierdzenie o różniczkowaniu ciągów i szeregów funkcyjnych, konstrukcja funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej.
5. Twierdzenie Arzeli-Ascoli.
6. Szeregi potęgowe: wzór Cauchy-Hadamarda, promień i przedział zbieżności.
7. Różniczkowanie szeregów potęgowych, jednoznaczność rozwinięcia w szereg potęgowy, funkcje analityczne
8. Twierdzenie Abela o ciągłości na krańcach przedziału zbieżności, rozwijanie funkcji w szereg potęgowy.
9. Funkcja pierwotna, twierdzenie mówiące, że każda funkcj ciągła ma funkcję pierwotną. Całka nieoznaczona: podstawowe wzory i własności, całkowanie przez części i przez podstawienie.
10. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych.
11. Funkcje hiperboliczne i funkcje area i ich zastosowanie do liczenia całek z funkcji niewymiernych.
12. Całkowanie funkcji niewymiernych za pomocą współczynników nieoznaczonych oraz za pomocą podstawień Eulera.
13. Całka oznaczona (Newtona): podstawowe wzory i własności, twierdzenie o przejściu granicznym pod znakiem całki.
14. Przybliżanie całki oznaczonej sumami całkowymi i interpretacja geometryczna całki oznaczonej.
15. Wzór Wallisa i wzór Stirlinga, wzór Taylora z resztą całkową.
16. Twierdzenia o wartości średniej dla całek i ich zastosowania.
17. Całka Riemanna: konstrukcja całki Riemanna, całka dolna i górna, funkcje całkowalne w sensie Riemanna i ich charakteryzacja, równość z całką oznaczoną dla funkcji ciągłych.
18. Zastosowanie geometryczne całek: obliczanie długości krzywych.
19. Obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych.
20. Całki niewłaściwe na przedziale nieskończonym: warunek Cauchy'ego, zbieżność bezwzględna i warunkowa.
21. Zbieżność warunkowa całki Dirichleta, związek zbieżności całki niewłaściwej ze zbieżnością odpowiednich szeregów liczbowych.
22. Kryterium porównawcze i kryterium Abela-Dirichleta dla całek niewłaściwych na przedziale nieskończonym.
23. Całki niewłaściwe na przedziale skończonym: warunek Cauchy'ego, kryterium porównawcze.
24. Funkcja gamma Eulera i jej własności, logarytmiczna wypukłość, nierówność Younga i nierówność Holdera, twierdzenie Bohra
25. Wzór Gaussa, funkcja beta Eulera i jej własności.
26. Wzór iloczynowy Weierstrassa, wzór Legendre'a, związek funkcji gamma z funkcją sinus.
27. Rozwinięcie cotangensa w szereg ułamków prostych, liczby Bernoulliego i wartości funkcji dzeta Riemanna dla liczb parzystych.
28. Rzeczywiste i zespolone szeregi Fouriera, lemat Riemanna-Lebesgue'a.
29. Kryterium Diniego zbieżności szeregów Fouriera.
30. Zbieżność szeregów Fouriera w L^2.

Proponowana literatura:

Wykład:

1. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom II, PWN, Warszawa.
2. K. Kuratowski, Rachunek rózniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.
3. F. Leja, Rachunek rózniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.
4. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa.
5. P. Strzelecki, Analiza matematyczna I (skrypt wykładu), Wydział MIiM UW, 14 grudnia 2018.

Ćwiczenia:

W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I, II. PWN, Warszawa.
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 i Analiza matematyczna 2, GiS, Wrocław.
J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa.
W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, t. 2, 3, PWN, Warszawa.

Ostatnia aktualizacja: 2024-06-29

Sławomir Michalik