Analiza matematyczna III - rok akademicki 2024/2025

Przykładowe zadania: część 1, część 2, część 3, część 4, część 5.

Egzamin będzie się składał z części zadaniowej i teoretycznej.

Zakres materiału na egzamin teoretyczny.

Tematyka wykładów:

• 1. Przestrzeń euklidesowa R^n, nierówność Schwarza, funkcje i odwzorowania w R^n.
• 2. Ciągi w R^n, granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych.
• 3. Pochodne kierunkowe i cząstkowe, odwzorowania liniowe i różniczki odwzorowań.
• 4. Związek pochodnych kierunkowych i cząstkowych z różniczką, warunek wystarczający różniczkowalności.
• 5. Reguły różniczkowania i twierdzenia o wartości średniej.
• 6. Twierdzenie o funkcji odwrotnej.
• 7. Dyfeomorfizmy, rozmaitości.
• 8. Wektory styczne, przestrzeń styczna do rozmaitości.
• 9. Twierdzenie o funkcji uwikłanej.
• 10. Rozmaitość o równaniu F(x)=0.
• 11. Twierdzenie o mnożnikach Lagrange'a.
• 12. Pochodne wyższych rzędów. Odwzorowania klasy C^k.
• 13. Twierdzenie Schwarza o symetrii drugiej różniczki.
• 14. Ekstrema funkcji wielu zmiennych.
• 15. Wzór Taylora. Rozwinięcia funkcji wielu zmiennych w szeregi.
• 16. Konstrukcja całki n-wymiarowej.
• 17. Zbiory miary zero i objętości zero.
• 18. Funkcje całkowalne.
• 19. Twierdzenie Fubiniego.
• 20. Rozkłady jedności.
• 21. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie.
• 22. Twierdzenie Sarda.
• 23. Całki krzywoliniowe niezorientowane.
• 24. Całki krzywoliniowe zorientowane.
• 25. Pola potencjalne i wzór Greena.
• 26. Całki powierzchniowe niezorientowane.
• 27. Całki powierchniowe zorientowane.
• 28. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego i twierdzenie Stokesa.
• 29. Całki niezorientowane na rozmaitości.
• 30. Całki zorientowane na rozmaitości.

Proponowana literatura:

• 1. A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 2012.
• 2. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2012.
• 3. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 2005.
• 4. P. Strzelecki, Analiza matematyczna II (skrypt wykładu), Wydział MIiM UW, 5.01.2016
• 5. K. Maurin, Analiza. Część I, PWN, Warszawa 2010.
• 6. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
• 7. R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2002.
• 8. C.C. Pugh, Real mathematical analysis, Springer, New York 2002.

Ostatnia aktualizacja: 2024-12-18