Analiza matematyczna II - rok akademicki 2022/2023

Egzamin poprawkowy pisemny odbędzie się w poniedziałek 18 września w godzinach 10:00 - 12:00 w sali 106 bud. 21, a ustny w czwartek 21 września od godziny 9:00 w 1224.

Wyniki egzaminu pisemnego.

Przykładowy schemat rozwiązań zadań z egzaminu pisemnego (na przykładzie zestawu A).

Lista osób na egzamin ustny.

Treść zadań z egzaminu pisemnego.

Egzamin będzie się składał z części pisemnej (zadania) i ustnej (teoria).

Egzamin pisemny odbędzie się w poniedziałek 19 czerwca w godzinach 8:00 - 10:00 w sali 106 bud. 21 (na ostatnim wykładzie).
Egzamin ustny odbędzie się w czwartek 22 czerwca od godziny 9:00 w pokoju 1224.

Zakres materiału na egzamin ustny (całość!!!).

Tematyka wykładów:

1. Ciągi i szeregi funkcyjne: zbieżność punktowa i jednostajna, warunek Cauchy'ego.
2. Kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów fukcyjnych, wielomiany Bernsteina i twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami.
3. Twierdzenie o różniczkowaniu ciągów i szeregów funkcyjnych, konstrukcja funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej.
4. Twierdzenie Arzeli-Ascoli.
5. Szeregi potęgowe: wzór Cauchy-Hadamarda, promień i przedział zbieżności, różniczkowanie szeregów potęgowych, jednoznaczność rozwinięcia w szereg potęgowy.
6. Twierdzenie Abela o ciągłości na krańcach przedziału zbieżności, rozwijanie funkcji w szereg potęgowy, funkcje analityczne.
7. Funkcja pierwotna, twierdzenie mówiące, że każda funkcj ciągła ma funkcję pierwotną. Całka nieoznaczona: podstawowe wzory i własności, całkowanie przez części i przez podstawienie.
8. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych.
9. Całkowanie funkcji niewymiernych: przy pomocy funkcji hiperbolicznych i funkcji area oraz za pomocą podstawień Eulera.
10. Całka oznaczona (Newtona): podstawowe wzory i własności, twierdzenie o przejściu granicznym pod znakiem całki.
11. Przybliżanie całki oznaczonej sumami całkowymi i interpretacja geometryczna całki oznaczonej.
12. Wzór Wallisa i wzór Stirlinga, wzór Taylora z resztą całkową.
13. Twierdzenia o wartości średniej dla całek i ich zastosowania.
14. Całka Riemanna: konstrukcja całki Riemanna, całka dolna i górna, funkcje całkowalne w sensie Riemanna i ich charakteryzacja, równość z całką oznaczoną dla funkcji ciągłych.
15. Zastosowanie geometryczne całek: obliczanie długości krzywych.
16. Obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych.
17. Całki niewłaściwe na przedziale nieskończonym: warunek Cauchy'ego, zbieżność bezwzględna i warunkowa.
18. Zbieżność warunkowa całki Dirichleta, związek zbieżności całki niewłaściwej ze zbieżnością odpowiednich szeregów liczbowych.
19. Kryterium porównawcze i kryterium Abela-Dirichleta dla całek niewłaściwych na przedziale nieskończonym.
20. Całki niewłaściwe na przedziale skończonym: warunek Cauchy'ego, kryterium porównawcze.
21. Funkcja gamma Eulera i jej własności, logarytmiczna wypukłość, nierówność Younga i nierówność Holdera, twierdzenie Bohra
22. Wzór Gaussa, funkcja beta Eulera i jej własności.
23. Wzór iloczynowy Weierstrassa, wzór Legendre'a.
24. Związek funkcji gamma z funkcją sinus, rozwinięcie cotangensa w szereg ułamków prostych.
25. Liczby Bernoulliego i wartości funkcji dzeta Riemanna dla liczb parzystych.
26. Rzeczywiste i zespolone szeregi Fouriera, lemat Riemanna-Lebesgue'a.
27. Kryterium Diniego zbieżności szeregów Fouriera.
28. Zbieżność szeregów Fouriera w L^2.

Proponowana literatura:

Wykład:

1. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom II, PWN, Warszawa.
2. K. Kuratowski, Rachunek rózniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.
3. F. Leja, Rachunek rózniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.
4. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa.
5. P. Strzelecki, Analiza matematyczna I (skrypt wykładu), Wydział MIiM UW, 14 grudnia 2018.

Ćwiczenia:

W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I, II. PWN, Warszawa.
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 i Analiza matematyczna 2, GiS, Wrocław.
J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa.
W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, t. 2, 3, PWN, Warszawa.

Ostatnia aktualizacja: 2023-09-19

Sławomir Michalik