Abstracts
"Billards on polygons" - prof. dr hab. Krzysztof Frączek, Uniwersytet Mikołaja Kopernika
W ramach moich wykładów zamierzam omówić podstawowe zagadnienia dotyczące dynamiki orbit kuli bilardowej (punktowej) na wielokątach. Główny nacisk zostanie położony na przypadek tzw. wielokątów wymiernych. W tym przypadku skupię się przedstawieniu metod, które prowadzą do zrozumienia własności ergodycznych bilardowych układów dynamicznych. Po drodze zrobię szybki wstęp (możliwie bezbolesny) do podstawowych pojęć teorii ergodycznej. O ile czas pozwoli, postaram się powiedzieć w jaki sposób własności ergodyczne układów bilardowych można odczytać w własności orbit stowarzyszonego układu dynamicznego działającego na przestrzeni parametrów bilardów.
"Miary Younga" - prof. dr hab. Piotr Gwiazda, Uniwersytet Warszawski, PAN
Wykład mój będzie poświęcony jedej z istotnych współczesnych metod rachunku wariacyjnego. W drugiej połowie lat '30 L.C. Young zauważył, że klasyczne zagadnienie minimalizacyjne rachunku wariacyjnego może nie mieć rozwiązania. Zaproponowanym przez niego dla tego problemu rozwiązaniem był obiekt nazwany "uogólnioną krzywą". Obecnie obiekt ten jest powszechnie nazywany miarą Younga. Wykład mój będzie poświęcony dowodowi zasadniczego twierdzenia o miarach Younga jak i ukazaniu ich zastosowań pochodzących z rachunku wariacyjnego jak i równań różniczkowych cząstkowych.
"Procesy kawałkami deterministyczne i ich zastosowania" - prof. dr hab. Ryszard Rudnicki, Uniwersytet Śląski, PAN
Rozpoczniemy od wprowadzenia pojęcia kawałkami deterministycznego procesu Markowa (PDMP). Następnie podamy kilka przykładów występujących w opisie modeli biologicznych: procesy urodzin i śmierci, ekspresja genów, modele cyklu komórkowego (w tym bilard stochastyczny) i strukturalne modele populacyjne. Następnie podamy związek tych procesów z półgrupami stochastycznymi, a więc półgrupami operatorów liniowych i dodatnich na przestrzeni L1(X) oraz zachowujących całkę. Wyjaśnimy na czym polegają problemy z badaniem ewolucji rozkładów takich półgrup.
Przedstawimy podstawowe i istotne z punktu widzenia potencjalnych zastosowań własności półgrup stochastycznych. Centralnym punktem wykładu będzie ogólne twierdzenie o asymptotycznym rozkładzie operatorów i półgrup stochastycznych.
Twierdzenie to przy bardzo minimalnym założeniu dotyczącym ich części całkowej, podaje pełny opis asymptotycznego rozkładu półgrupy na części, w których mamy zbieżność do pewnej gęstości (zależnej od wyjściowego rozkładu) i wymiatanie. Sformułujemy ważne wnioski z tego twierdzenia i jego związek ze wcześniejszymi rezultatami. Przedstawimy też w jaki sposób twierdzenie to stosuje się w badaniu półgrup stochastycznych związanych z PDMP.
Literatura – monografia:
R. Rudnicki, M. Tyran-Kamińska, Piecewise Deterministic Processes in Biological Models, Springer Briefs in Mathematical Methods 2017.
"Zaskakująca matematyka najdłuższych podciągów rosnących" - prof. dr hab. Piotr Śniady, PAN
W 1961 roku Stanisław Ulam postawił niewinnie brzmiący problem dotyczący typowego zachowania długości najdłuższego podciągu rosnącego w losowo wybranej permutacji. Ten bardzo łatwy do sformułowania problem okazał się bardzo trudny do rozwiązania. Przez ostatnie pół wieku udało się zrozumieć jego związki z licznymi, pozornie oddalonymi dziedzinami matematyki: teorią reprezentacji, teorią macierzy losowych, teorią ergodyczną, zaawansowaną analizą a nawet z fizyką matematyczną i perkolacją (,,powolny przepływ wody pod ciśnieniem przez pory w dobrze ubitej zmielonej kawie''). Jednym z badaczy tego problemu był Andrei Okounkov, laureat medalu Fieldsa.
Podczas odczytów opowiem o kombinatoryce stojącej za problemem Ulama oraz jego związkach z teorią reprezentacji.
Zainteresowani słuchacze mogą kontynuować eksplorację tych tematów czytając książkę Dana Romika "The Surprising Mathematics of Longest Increasing Subsequences", która legalnie dostępna jest na stronie jej autora
https://www.math.ucdavis.edu/~
"Transformata gładząca" - Piotr Dyszewski, Uniwersytet Wrocławski
Probabiliści bardzo często postawieni są przed zadaniem opisu asymptotyki ciągu zmiennych losowych. Nierzadko szuka się także opisu zmiennej granicznej lub przynajmniej jej rozkładu. Nie ma jednak uniwersalnego sposobu na jego otrzymanie. Mimo wszystko w wielu sytuacjach możemy wspomóc się strukturą naszego ciągu.
Motywowani probabilistyczną analizą algorytmu sortującego Quicksort pokażemy jak przy pomocy tak zwanej transformaty gładzącej uzyskać opis zmiennej granicznej ciągu spełniającego pewne rekurencyjne zależności.
"Dwa współczynniki kardynalne" - dr Piotr Borodulin-Nadzieja, Uniwersytet Wrocławski
W zeszłym roku Malliaris i Shelah opublikowali rozwiązanie jednego z najbardziej znanych problemów kobinatoryki nieskończonej: udowodnili, że p=t. Wynik ten odbił się szerokim echem, nawet w postaci artykułów w prasie popularnonaukowej. Trudno jednak z tych artykułów dowiedzieć się, czym jest p i t. Postaram się przybliżyć słuchaczom te pojęcia wraz z podstawami teorii współczynników kardynalnych.
Harmonogram w wersji PDF:
harmonogram_malehoryzonty2017.pdf