Abstracts
,,Koncentracja miary" - dr hab. Radosław Adamczak, Uniwersytet Warszawski
Na początku lat siedemdziesiątych Vitali Milman zauważył, że funkcje lipschitzowskie określone na wysokowymiarowych sferach euklidesowych bardzo silnie (w sensie miary) koncentrują się wokół swoich wartości średnich. Obserwacja ta wraz z jej probabilistyczna interpretacją i licznymi rozszerzeniami okazała się mieć daleko idące konsekwencje w wielu działach matematyki, m. in. w wysokowymiarowej geometrii wypukłej, rachunku prawdopodobieństwa, fizyce statystycznej, kombinatoryce czy informatyce. W ciągu ostatnich czterdziestu lat wypracowano wiele sposobów dowodzenia nierówności koncentracyjnych, odkrywając ich nowe aspekty, związane np. z równaniami cząstkowymi i teorią transportu miary.
W ramach swojego wykładu postaram się omówić podstawowe nierówności koncentracyjne, naszkicować różne metody dowodów oraz przedstawić niektóre ze wspomnianych zastosowań.
,,Funkcje wykładnicze są stateczne, a kosinusy robią psikusy’’ - prof. dr hab. Adam Bobrowski, Politechnika Lubelska
Opowiem o tym jak można skonstruować funkcję wykładniczą od operatora liniowego (niekoniecznie ograniczonego) i dlaczego istnienie takich funkcji jest ważne. Opowiem też podobną historię dotyczącą operatorowej funkcji kosinusowej, a potem pokażę na szeregu przykładów, że pozornie bardzo podobne, otrzymane klasy obiektów są od siebie zaskakująco różne.
,,Markowowskie i sekwencyjne algorytmy Monte Carlo'' - prof. dr hab. Wojciech Niemiro, Uniwersytet Warszawski
Markowowskie algorytmy Monte Carlo (MCMC) wynalezione przez fizyków w 1953 roku, począwszy od 1984 roku zrobiły ogromną karierę w statystyce. Równolegle rozwijały się i zyskiwały popularność sekwencyjne algorytmy Monte Carlo (SMC). Idee MCMC i SMC połączono, w bardzo pomysłowy sposób, w przełomowej pracy z 2010 roku.
W wykładzie przedstawię zasadnicze, niezwykle proste, idee metod Monte Carlo. Zacznę od losowania ważonego i algorytmu Metropolisa, który jest podstawą MCMC. Następnie omówię tak zwany ,,filtr cząsteczkowy'', który jest podstawowym algorytmem SMC i wykorzystuje mechanizm nieco przypominający ,,dobór naturalny''. W dalszej części wykładu przejdę do ,,cząsteczkowych algorytmów MCMC'' (pMCMC), czyli ,,SMC wewnątrz MCMC''.
Tematy poruszane na wykładzie charakteryzuje - z jednej strony zupełnie elementarny aparat matematyczny - z drugiej strony ogromna pomysłowość. Wszystkie ważniejsze wyniki mam zamiar przedstawić wraz z dowodami.
,,Grupy hiperboliczne, brzeg w nieskończoności i kompakty Markowa" - prof. dr hab. Jacek Świątkowski, Uniwersytet Wrocławski
Klasyfikacja grup skończenie generowalnych (jako "naturalny" następny krok po klasyfikacji grup skończonych) nie jest możliwa choćby z następujących dwóch powodów:
a) grup takich, z dokładnością do izomorfizmu, jest nieprzeliczalnie wiele;
b) nawet wśród grup skończenie prezentowalnych, których jest przeliczalnie wiele, problem izomorfizmu jest nierozstrzygalny.
W związku z tym bada się "interesujące klasy" grup skończenie generowalnych, klasyfikując je ze względu na rozmaite cechy mniej dokładne niż typ izomorfizmu. Opowiem o jednej takiej "interesującej" rodzinie grup, wyróżnionej za pomocą traktowania grup nieskończonych jako obiektów geometrycznych, mianowicie o grupach hiperbolicznych. Opowiem też o próbie/zamiarze sklasyfikowania grup hiperbolicznych z dokładnością do ich geometrycznego "zachowania" w nieskończoności. Dokładniej, opiszę przyporządkowany grupie obiekt zwany brzegiem w nieskończoności, który jest zwartą przestrzenią metryczną (czyli tzw. kompaktem), i o którym można myśleć jak o swego rodzaju sferze niebieskiej w grupie traktowanej jako nieskończona przestrzeń geometryczna. Następnie opiszę pewne częściowe sukcesy w zadaniu sklasyfikowania wszystkich brzegów grup hiperbolicznych z dokładnością do homeomorfizmu.
,,Deskryptywna teoria grafów i paradoksalny rozkład kuli na kawałki prawie borelowskie'' - prof. dr hab. Piotr Zakrzewski, Uniwersytet Warszawski
Deskryptywna teoria grafów to intensywnie rozwijana w ostatnich latach tematyka badawcza na styku deskryptywnej teorii mnogości i teorii grafów. Graf jest określony przez zbiór swoich wierzchołków X i zbiór krawędzi E, którego elementami są pewne dwuelementowe podzbiory zbioru X. Jeśli X ma strukturę przestrzeni metrycznej (w naszym przypadku ośrodkowej i zupełnej), to mówimy, że graf jest borelowski, jeśli zbiór jego krawędzi (ściślej, zbiór {(x,y) \in X2: {x,y}\in E}) jest borelowskim podzbiorem przestrzeni X2. W kontekście grafów borelowskich można zadawać pytania o to, czy pewne inne zbiory i funkcje, pojawiające się w teorii grafów, też są borelowskie.
Na wykładzie przedstawię borelowską wersję słynnego twierdzenia Halla o kojarzeniu małżeństw. Następnie pokażę jej związek z jednym z najbardziej zaskakujących twierdzeń matematyki teoretycznej, tzw. paradoksem Banacha-Tarskiego, stwierdzającym, że istnieje podział kuli jednostkowej w przestrzeni R3 na skończenie wiele podzbiorów, z których następnie za pomocą obrotów i przesunięć można złożyć dwie rozłączne kule jednostkowe. Okazuje się, że z borelowskiej wersji twierdzenia Halla wynika, że istnieje paradoksalny rozkład kuli na kawałki z własnością Baire'a, czyli prawie borelowskie z topologicznego punktu widzenia. Daje to nowe rozwiązanie problemu Marczewskiego, postawionego w 1930 roku (problem ten został innymi metodami rozwiązany w 1992 r.).
Główne wyniki mojego wykładu pochodzą z pracy A. Marksa i S. Ungera ,,Baire Measurable Paradoxical Decompositions via Matchings" (Advances in Mathematics 289, 2016, s. 397-410).
Referaty studenckie:
"Kolory i niezmienniki" - Jacek Gładysz (Politechnika Warszawska)
W referacie przedstawię kilka zadań, których rozwiązania są proste i oczywiste, pod warunkiem, że zna się sposób. Dopóki tego sposobu się nie zna, każde z nich wydaje się interesujące, intrygujące i trudne. Za każdym razem rozwiązanie wiąże się ze wskazaniem pewnego niezmiennika, tj. własności, która nie zmienia się przy wykonywaniu określonej operacji. W szczególności posługiwać się będę odpowiednim kolorowaniem. Zadania dotyczyć będą m.in. rozmieszczania polimin na szachownicach oraz równoważności pewnych splotów. Powiem też o dwóch skromnych problemach otwartych.
"Impressive algebraic geometry: two proofs of the theorem on DVRs and non-singular curves" - Mykola Shamaiev (Uniwersytet Śląski)
I will present two proofs of a well-known theorem on DVRs. The theorem brings out a beautiful interplay between algebra and geometry; how the apparatus used for the investigation the properties of rings (such as normality) may be adapted to show that a curve is non-singular (i.e. not all partial derivatives are zero). Some examples will be discussed as well.
Harmonogram konferencji: