Heckesche Systeme idealer Zahlen und Knesersche Körpererweiterungen
Volume 73 / 1995
Abstract
Einleitung. Eine klassische Konstruktion aus der algebraischen Zahlentheorie ist folgende: Zu jedem algebraischen Zahlkörper K kann man ein sogenanntes System idealer Zahlen S zuordnen, welches eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe ℂ* der komplexen Zahlen ist derart, daß die Faktorgruppe S/K* in kanonischer Weise isomorph zu der Klassengruppe $Cl_K$ von K ist. Diese Konstruktion geht auf Hecke [5] zurück und hat folgende wichtige Eigenschaft, die auch bei dem Hilbertschen Klassenkörper zu K vorkommt: Jedes Ideal von K wird in K(S) ein Hauptideal, wobei K(S) den durch K und S erzeugten Unterkörper von ℂ bezeichnet. Über den Grad [K(S):K] behauptet Hecke, daß $[K(S):K]=|Cl_K|$ sei; wir konnten aber keinen Beweis dieser Behauptung in der Literatur finden. Der Zweck unserer Arbeit ist einen sehr kurzen und einfachen Beweis der Gleichheit $[K(S):K]=|Cl_K|$ zu geben, mittels eines schönen Satzes von Kneser [7]. Diese Gleichheit gilt allgemeiner für den Quotientenkörper eines Dedekindschen Ringes.
