Moyennes sphériques et opérateur de Helmholtz itéré
Volume 68 / 1995
Abstract
Il est bien connu qu'une fonction $f$ sur $ℝ^{n}$ est harmonique - Δf = 0 - si et seulement si sa moyenne sur toute sphère est égale à sa valeur au centre de cette sphère. De manière semblable, f vérifie l'équation de Helmholtz Δf + cf = 0 si et seulement si sa moyenne sur la sphère de centre x et de rayon r vaut $Γ(n/2)(r√c/2)^{(2-n)/2} J_{(n-2)/2}(r√c)·f(x)$. Dans ce travail, nous généralisons ces résultats à l'opérateur $(Δ + c)^k$ où k est un entier strictement positif et c une constante non nulle. Bien qu'une méthode pour y parvenir soit esquissée dans [CH] (pp. 286-289), il semble que les calculs explicites nécessaires n'aient jamais été faits en toute généralité pour cet opérateur (voir, pour le cas n=3, [F], p. 87). La formule de la moyenne à laquelle nous aboutissons permet de démontrer - résultat cité par Herz ([H], p. 711) - qu'une fonction bornée f dont le spectre est dans $S^{n-1}$ vérifie $(Δ + 4π^{2})^{k} f =0$ où $k=⌊(n+1)/2⌋$, et ceci sans utiliser Beurling-Pollard.
