Sur la somme de sous-différentiels de fonctions semi-continues inférieurement
Volume 423 / 2003
Abstract
\def\sdif{sous-différentiel}Cet article a pour objectif de traiter de manière unifiée, avec un sous-différentiel abstrait, certaines propriétés de base des sous-différentiels~: les règles de somme approchée, les conditions nécessaires d'optimalité, les propriétés de contrôle par la pente forte, les propriétés de reconstitution des sous-différentiels de type Fréchet, la sous-différentiabilité dense des fonctions semi-continues inférieurement (sci), etc. Nous introduisons une nouvelle condition de qualification (portant sur des familles de fonctions) et nous démontrons que celle-ci suffit pour prouver que le sous-différentiel (en un point $x\in X$) de la somme de fonctions sci est inclus dans la somme approchée des sous-différentiels (en des points proches de $x$) de chaque fonction. Cette condition, appelée condition de découplage, est l'objet d'études comparatives avec les conditions de qualification classiques utilisées pour les règles de somme. Des relations caractéristiques entre la semi-continuité inférieure de l'épi-somme de fonctions sci, la méthode de pénalisation-découplage et notre condition de découplage sont également explorées. Dans le but d'obtenir des résultats généraux capables de couvrir à la fois les règles de somme et les propriétés de reconstitution, mais aussi, applicables à n'importe quel \sdif, nous établissons une règle de somme dite “mixte” faisant intervenir un sous-différentiel arbitraire et un sous-différentiel de type Fréchet. Nous prouvons en fait que des équivalences peuvent être établies entre cette règle mixte et les propriétés de base citées en amont (identifiant ainsi des classes d'espaces). Ceci conduit à des résultats nouveaux dans ce domaine et débouche en particulier sur de nouvelles caractérisations des espaces d'Asplund. Ce travail révèle le rôle incontournable joué par le \sdif de Fréchet et fait émerger deux opérateurs fondamentaux bâtis sur ce dernier, à savoir, les \sdif s de Gateaux-convexe et de Ioffe. Ces trois opérateurs donnent lieu à trois grands groupes (pour l'inclusion) de \sdif s et permettent d'obtenir une approche unifiée des théorèmes de somme et de reconstitution, pour chaque groupe d'opérateurs. En appliquant ces résultats à des sous-différentiels particuliers, on obtient des améliorations de diverses règles de somme approchée connues. Cette étude, menée dans le cadre de l'analyse non lisse, ouvre également la voie à une autre compréhension de certains théorèmes classiques de somme pour les fonctions convexes.
