Publishing house / Mathematical library

Opis książki 
Celem podręcznika jest dokonanie przeglądu podstawowych pojęć teorii grup i reprezentacji grup w takim zakresie, by można było dokładniej omówić pojęcia bardziej zaawansowane, takie jak algebry Clifforda i spinory.

Książka adresowana jest przede wszystkim do studentów matematyki i fizyki, ale także do wszystkich zainteresowanych powiązaniami tych dwóch dziedzin nauki.

Pobierz pierwszy rozdział

O autorze 
ANDRZEJ TRAUTMAN, ur. w 1933 r. w Warszawie. Studiował radiotechnikę na Politechnice Warszawskiej i jednocześnie matematykę na Uniwersytecie Warszawskim. Doktoryzował się w Instytucie Fizyki PAN. Od 1961 r. aż do przejścia na emeryturę w 2003 r. pracował w Instytucie Fizyki Teoretycznej UW.

Jego prace z lat 50-tych i 60-tych stanowią istotny wkład do teorii fal grawitacyjnych, których istnienie potwierdzono doświadczalnie w 2015 r. W 1960 r. wspólnie z Ivorem Robinsonem znalazł nową rodzinę konkretnych rozwiązań równań Einsteina, opisujących fale grawitacyjne w próżni. Później pracował m.in. nad teorią Einsteina-Cartana.

Spis treści
Przedmowa 9

I. Wstępne wiadomości z algebry 11
1. Grupy, pierścienie, ciała i moduły 11
2. Algebry 36
Zadania 58

II. Grupy: ważne konstrukcje i przykłady 61
1. Generatory i relacje 61
2. Grupy nilpotentne i rozwiązalne 62
3. Grupy z dodatkową strukturą 63
4. Grupy przekształceń 64
5. Ciągi dokładne i rozszerzenia grup 70
6. Skończone grupy obrotów 72
7. Grupy SL(2,C) i SU(2) 75
Zadania 80

III. Reprezentacje grup i algebr: podstawowe pojęcia 86
1. Wstęp; lematy Schura 86
2. Definicje i przykłady 90
3. Charakter reprezentacji 95
4. Działania na reprezentacjach 96
5. Rachunek tensorowy jako dział teorii reprezentacji 99
Zadania 102

IV. Reprezentacje grup skończonych 104
1. Przykłady reprezentacji 104
2. Uśrednianie na grupie 105
3. Reprezentacja regularna 105
4. Relacje ortogonalności 106
5. Twierdzenia o wymiarze 110
6. Tablice charakterów 112
7. Twierdzenie Frobeniusa--Schura 114
8. Ograniczanie reprezentacji i reprezentacje indukowane 115
9. Algebra grupowa i tablice Younga 116
Zadania 122

V. Rozmaitości gładkie i pola wektorowe 125
1. Mapy i atlasy 125
2. Rozmaitości gładkie 126
3. Rozmaitości zespolone 128
4. Pola wektorowe 12
5. Wiązki włókniste 132
6. Formy różniczkowe i całkowanie 134
7. Algebra Cartana 137
8. Kohomologie de Rhama 139
Zadania 140

VI. Grupy Liego 141
1. Algebra Liego grupy Liego 141
2. Odwzorowanie wykładnicze 142
3. Algebra Liego grupy GL(V) 143
4. Morfizmy grup Liego 144
5. Reprezentacja dołączona grupy i algebry Liego 145
6. Forma i równanie Maurera-Cartana 148
7. Zastosowanie: podstawy teorii pól z cechowaniem 149
8. Podstawowe twierdzenie o grupach Liego 152
9. Całki niezmiennicze na grupach Liego 153
10. Działanie grupy Liego na rozmaitości 154
11. Wiązki główne i stowarzyszone 155
12. Grupy zwarte 165
Zadania 167

VII. Algebry Liego 169
1. Automorfizmy i różniczkowania algebr Liego 170
2. Formy niezmiennicze na algebrach Liego 170
3. Lista prostych, zwartych i jednospójnych grup Liego 176
4. Operator Casimira 177
5. Algebra obwiednia algebry Liego 178
6. Realifikacja a forma rzeczywista algebr Liego 179
7. Reprezentacje algebry Liego sl(2,C) 180
8. Reprezentacje grupy SL(2,C) 184
9. Reprezentacje grup SU(2) i SO(3) 184
Zadania 186

VIII. Algebry Clifforda, grupy Spin i spinory 18
1. Wstęp: spinory u Euklidesa 187
2. O równaniu Diraca 188
3. Algebry Clifforda: podstawy 18
4. Struktura algebr Clifforda 19
5. Grupy spinorowe 212
6. Algebra spinorów 217
7. Spinory na rozmaitościach: struktury spin 219
8. Twistory 220
Zadania 232

IX. Półproste algebry Liego 236
1. Wstęp: pierwsza orientacja 236
2. Struktura półprostych algebr Liego 242
3. Normalizacja Chevalleya i formy rzeczywiste 250
4. Reprezentacje półprostych algebr Liego 253
5. Reprezentacje klasycznych algebr Liego 256
6. Diagramy Dynkina i wymiary algebr E, F, G 265

X. Przykłady zastosowania teorii grup w fizyce 266
1. Geometria mechaniki klasycznej 267
2. Nierelatywistyczna mechanika kwantowa jednej cząstki 275
Zadania 280

Bibliografia 281
Często używane oznaczenia 289
Skorowidz 292