Streszczenie
A given domain (open and connected set) in a Euclidean space may or may not have the property that each function in a Sobolev space defined over the domain is actually the restriction ol a function in the analogous Sobolev space to the domain in question. In the positive case, there is a bounded extension operator. I will discuss results related to the dependence of this extension property on the integrability degree and on the number of derivatives in the definition of the chosen Sobolev space. I will also give the other known functional properties for this kind of extendability. A number of open problems and conjectures get stated.
The talk will present some new approaches and recent results on differential equations with multivalued right hand side. In the first part, I shall discuss existence and non-existence results for differential inclusions with upper semicontinuous, non-convex valued right hand side. The main focus of the talk will be on solutions to differential inclusions where the derivative takes values in a set of extreme points. Two different approaches will be considered: a "dual" Baire category method, and a probabilistic approach, replacing residual sets by sets of probability one. A number of open problems will also be discussed.
Detection of a gravitational wave signal from merger of two black holes is one of the most important discoveries of this century. This is a major experimental achievement. However it would not be possible without a concerted effort of astrophysicists, theoretical physicists and mathematicians.
In my lecture I shall briefly describe two predictions of Einstein's theory of relativity - gravitational waves and black holes. I shall describe the observation of the gravitational wave signal GW150914 from merger of two black holes, its significance, and several of its consequences. I shall present statistical methods of signal detection and parameter estimation that enabled confident extraction of the gravitational wave signal from the noise of the detectors. I shall also describe contribution of Polish scientists to various aspects of this discovery.
W 1996 roku Greg Kuperberg skonstruował skręconą wstawkę w celu wykonywania operacji Dehna na rozmaitościach trójwymiarowych zgodnej z danym układem dynamicznym. Tę metodę zastosował do udowodnienia, że każda rozmaitość trójwymiarowa bez brzegu posiada gładki, zachowujący miarę układ dynamiczny z dyskretną rodziną okresowych trajektorii, które są jedynymi zbiorami minimalnymi.
W tym odczycie zostaną przedstawione pokrótce operacje Dehna wycinania i wklejania pełnych torusów na rozmaitościach trójwymiarowych zgodne z dynamiką. Przedstawione będzie następujące uogólnienie powyższego twierdzenia:
Każda rozmaitość trójwymiarowa bez brzegu posiada gładki, zachowujący miarę układ dynamiczny z dyskretną rodziną okresowych trajektorii, które są jedynymi zbiorami minimalnymi, i taki, że każda trajektoria jest ograniczona.
Trajektoria jest ograniczona, jeżeli jej domknięcie jest zwarte.
Microlocal analysis exploits mathematical manifestations of the classical/quantum (particle/wave) correspondence and has been a very successful tool in spectral theory and partial differential equations. We can say that these two fields lie on the "quantum/wave side".
Recently, microlocal methods have been applied to the study of classical dynamical problems, in particular of chaotic (Anosov) flows. I will explain how it works in the context of Ruelle resonances, decay of correlations meromorphy of dynamical zeta functions and applications to inverse problems.
The talk, based on the works of several mathematicians, including Datchev, Dyatlov, Faure, Guillarmou, Giulietti, Liverani, Nonnenmacher, Sjöstrand, Paternain, Pollicott, Salo, Tsujii, Uhlmann and the speaker, will be non-technical and is intended as an introduction to both microlocal analysis and to chaotic dynamics.
Teoria iteracji przekształceń holomorficznych przeżywa od lat 1980-tych okres żywiołowego rozwoju. Jednym z jej najważniejszych działów jest obecnie badanie przestępnych funkcji całkowitych i meromorficznych na płaszczyźnie zespolonej. Oprócz metod układów dynamicznych, dziedzina ta wykorzystuje techniki i narzędzia pochodzące m.in. z analizy zespolonej, topologii i geometrycznej teorii miary.
W czasie wykładu omówię niektóre zagadnienia dotyczące topologicznej i geometrycznej struktury zbiorów Julii i innych zbiorów niezmienniczych pojawiających się przy badaniu dynamiki takich przekształceń. W szczególności, przedstawię nowe wyniki dotyczące metody Newtona poszukiwania zer funkcji zespolonych.
Do zrozumienia większości wykładu wystarczy znajomość matematyki w zakresie pierwszych 2-3 lat studiów (z uwzględnieniem Funkcji Analitycznych).
Trees are ubiquitous in mathematics. In particular, they appear as basic objects in combinatorics and probability, and as dendrites in topology and dynamics. In this talk, we will see that finite trees have a canonical embedding in the plane (via Shabat polynomials as Grothendieck dessin d'enfants), that conformal maps can be used to compute these embeddings, and that self-similar Julia sets from complex dynamics can be viewed as limits of such finite trees. We will also discuss motivation from probability theory and statistical physics, particularly stochastically self-similar trees (such as the Aldous' Continuum Random Tree), the Brownian map, and conjectured relations to Liouville Quantum Gravity.
A spherical quadrilateral (membrane) is a bordered surface homeomorphic to a closed disc, with four distinguished boundary points called corners, equipped with a Riemannian metric of constant curvature 1, except at the corners, and such that the boundary arcs between the corners are geodesic. We discuss the problem of classification of these quadrilaterals and perform the classification up to isometry in the case that at most two angles at the corners are not multiples of Pi. This is a very old problem, related to the properties of solutions of the Heun's equation (an ordinary differential equation with four regular singular points). The corresponding problem for the spherical triangles, related to the properties of solutions of the hypergeometric equation, has been solved by Klein, with some gaps in Klein's classification filled in by Eremenko in 2004. The quadrilateral case for small corners was treated in the Thesis of Smirnov (1918), but for arbitrary corners remains open. This is joint work with A. Eremenko (Purdue) and V. Tarasov (IUPUI).
A sequence of functions
for all
One says that
In this talk, I will explain what is known about the classification (up to a natural notion of equivalence) of such periodic sequences and their surprising relationships with differential geometry, cluster algebras, and the theory of over determined differential equations.
We start with some results on the spectral synthesis for systems of exponentials on the interval or, equivalently, for systems of reproducing kernels in the Paley-Wiener space. Then we pass to similar results for general de Branges spaces. We discuss related results on the completeness for the restricted shift operator and on the Riesz bases of reproducing kernels in the Fock spaces.
A normal crossings singularity means a transverse self-intersection. Given a singular variety
An illuminating example is the pinch point or Whitney umbrella
So it makes sense to ask: Can we find the smallest class of singularities
(Joint work with Sergio Da Silva, Pierre Lairez, Pierre Milman and Franklin Vera Pacheco.)
As we seek greater knowledge about the energy-minimal deformations in Geometric Function Theory and Nonlinear Hyperelasticity, the questions about Sobolev homeomorphisms and their limits become ever more quintessential.
We shall discuss the following topics:
- Approximation of Sobolev homeomorphisms with diffeomorphisms
- Its relevance to the regularity of hyperelastic deformations of neohookean materials (solution of the Ball-Evans Conjecture)
- p-Harmonic mappings will come into play
- A quest for diffeomorphic approximation in higher dimensions (J. Milnor's isotopy in the 7-sphere)
- Weak and strong limits of Sobolev homeomorphisms are the same; interpenetration of matter may occur
- Monotone Sobolev deformations of planar domains and surfaces (thin plates and films)
- Existence of traction free minimal deformations (no Lavrentiev Phenomenon)
- Hopf-Laplace equation. Lipschitz regularity in spite of collapse of domains
- Nitsche Conjecture; existence of harmonic diffeomorphisms between doubly connected domains.
Theoretical prediction of failure of bodies caused by interpenetration of matter (collapse of domains) is a good motivation that should appeal to Mathematical Analysts and researchers in the Engineering Fields.
In 1959, R. V. Kadison and I. M. Singer asked whether each pure state of the algebra of bounded diagonal operators on ℓ², admits a unique state extension to B(ℓ²). The positive answer was given in May 2013 by A. Marcus, D. Spielman and N. Srivastava, who took advantage of a series of translations of the original question, due to C. Akemann, J. Anderson, P. Casazza, N. Weaver, … Ultimately, the problem boils down to an estimate of the largest zero of the expected characteristic polynomial of the sum of independent random variables taking values in rank 1 positive matrices in the algebra of n-by-n matrices. In turn, this is proved by studying a special class of polynomials in d variables, the so-called real stable polynomials. The talk will highlight the main steps in the proof.
A wave front is the image of a Legendre mapping. A caustic is the set of critical values of a Lagrange mapping. We study local and global properties of Lagrange and Legendre mappings. As a corollary, we get new coexistence conditions of singularities of wave fronts and caustics.
Since the pioneering works of Scheffer and Shnirelman we know that Euler equations – derived more than 250 years ago to describe the motion of an inviscid incompressible fluid – have nontrivial solutions which are compactly supported in space and time. If they were to model the motion of a real fluid, we would see it suddenly start moving without any action of external forces.
Nash and Kuiper proved the existence of
Geometry and topology are full of structures that are frequently too big to easily manipulate on a pad of paper, yet small enough that computers can readily handle them. Hyperbolic 3-manifolds provide a stunning example of this. My talk will concern algorithms in topology, and how they are increasingly capable of attacking more interesting and compelling problems, some from outside of topology itself. Persistent homology is one of these new tools. It is a fairly young idea, with the intent of being useful in statistics, particularly the study of large data sets. I will describe some experiments in this field, as well as some basic open problems. I'll also describe how some of these algorithmics can be turned inward, to construct, for example, a `knot table' for knots in 4-dimensional space, analogous to the Tait-Little knot table.
Przypomnimy postać i dorobek Samuela Eilenberga, wywodzącego się z warszawskiej szkoły matematycznej jednego z architektów matematyki XX wieku. Po krótkim przeglądzie całości jego dorobku skoncentrujemy się na okresie warszawskim: studiach i doktoracie na UW oraz, mimo bardzo młodego wieku, bogatej działalności badawczej i interakcji z innymi matematykami. Zastanowimy się nad wpływem warszawskich korzeni na późniejszą twórczość Eilenberga oraz jego relacjami z dawnymi kolegami i nauczycielami. Wykład będzie ilustrowany skanami mało znanych zdjęć i dokumentów, które wzbogacają naszą pamięć o warszawskiej szkole matematycznej w okresie międzywojennym.
The fascination with "dimensionality" predates even Aristotle. Since the nineteenth century advances in Science and Mathematics unshackled our imagination with higher-dimensional geometries and multi-dimensional (multivariate) problems. These can now be visualized with a system of Parallel Coordinates. The perceptual barrier imposed by our 3-dimensional habitation has been breached.
We describe how this visualization works and demonstrate some of its applications: in air traffic control (collision avoidance; 3 patents), data exploration (patent - example: discovering banks' manipulation of gold market), modeling complex relations (example: interactive visual model of a country's economy), and new representation of surfaces preferable even for some 3-dimensional applications. Results are first discovered visually and then proven mathematically; in the true spirit of Geometry. Our 3-dimensional experience is now the laboratory for insights into complex high-dimensional situations.
The set of eigenvalues for operators on an infinite dimensional Hilbert space can be uncountable. Examples are provided by multiplication operators on spaces of holomorphic functions such as the Hardy and Bergman spaces. One can use concepts and techniques from complex geometry to study such operators. In particular, one can associate a Hermitian holomorphic bundle with such operators which provides a complete unitary invariant.
In joint work with M. Cowen around 1980, we showed how the Chern curvature for this bundle could be calculated concretely in operator-theoretic terms. We will illustrate these results emphasizing classical examples of reproducing kernel Hilbert spaces of holomorphic functions on domains such as the unit ball in Cn. Also, we will show how this framework can be used to tackle and, in many cases, solve problems in operator theory.
The twentieth century saw a remarkable development and consolidation of the theory of groups and their representations. Now the theory is being extended in a number of different directions. The talk will touch briefly on two of these, namely algebraic combinatorics and Hopf algebras, before delving more deeply into a third direction, the theory of quasigroups.
Kryptografia bierze swoje początki z czasów antycznych. Techniki szyfrowania, stworzone w jej ramach, wykorzystywane były na przestrzeni wieków do utajniania informacji w wojskowości, dyplomacji i kontaktach handlowych. W ciągu ostatnich kilku dekad, w związku z dramatycznym rozwojem technik komunikacji cyfrowej, dziedzina ta znacznie rozszerzyła swój pierwotny zakres zastosowań. Obecnie protokoły skonstruowane przez kryptografów służą nie tylko do zapewnienia poufności przesyłanych informacji, ale także mają szereg innych zastosowań takich jak: podpis elektroniczny, aukcje internetowe, głosowanie elektroniczne oraz obliczenia „w chmurze” (ang. cloud computing). Na wykładzie dokonamy krótkiego wprowadzenia do kryptografii oraz przedstawimy przegląd niektórych z tych zagadnień.
W czasie odczytu zostaną przedstawione wyniki, za które uzyskał to wyróżnienie: dowód zbieżności do stanu stacjonarnego rozwiązań równania Boltzmanna, w tym dowód hipotezy Cercignaniego, wyjaśnienie relaksacji do stanu równowagi rozwiązań równania Vlasova (tłumienie Landaua). W odczycie będzie także mowa o innych ważnych wynikach Villaniego otrzymanych w ostatnich latach, m.in. o związkach krzywizny Ricciego z entropią.
Prócz bycia wybitnym uczonym – choć nie bez związku z tym faktem – Cédric Villani stał się czołowym celebrytą francuskich mediów. Wykorzystując ten swój status Villani przyczynia się w niezwykłym stopniu do propagowania znaczenia matematyki we współczesnym świecie. O tym aspekcie osobowości Villaniego będzie też mowa w czasie odczytu.
Próby zrozumienia teorii algebr klastrowych Fomina i Zelevinskiego doprowadziły do nowego otwarcia w teorii algebr skończonego wymiaru, związanego z pojęciem tzw. kategorii klastrowych. Sztywne obiekty w tej kategorii mają mutacje, które pokazują ich ukrytą symetrię.
Wychodząc od reprezentacji kołczanów i twierdzenia Gabriela, zdefiniuję asocjahedron; pokażę, jak się on pojawia i jak w naturalny sposób prowadzi do pojęcia kategorii klastrowych. Omówię także najprostsze przykłady mutacji.
The attempts to understand theory of cluster algebras of Fomin and Zelevinsky led to new developments in the theory of Artin algebras based on the notion of cluster category. The rigid objects in that category come equipped with mutations that reveal hidden symmetry.
Departing from the definition of quiver representations and Gabriel theorem I will define the associahedron, show how it appears in that context and how it leads naturally to the notion of cluster categories. I will also describe the simplest examples of mutations.
I will describe a few mathematical questions (many of them open) that arise in the classical (and very simple) setting of the point mass moving by inertia in a bounded planar domain and elastically bouncing off its boundary.
If we choose a finitely presented group at random, what properties does it have?
This question can be made more precise in different ways. For example, twenty years ago, Gromov introduced his density model for random groups and showed that, generically, random groups are infinite and negatively curved on large scales (to be precise, they are Gromov hyperbolic).
Meanwhile, there have been many developments in the study of the large scale geometry of Gromov hyperbolic groups. In this talk we will follow these two strands of research from the basic definitions through to recent results. We will see how these ideas interact to give a richer picture of the large scale geometry of random groups.
Badanie nieskończonych grup metodami geometrycznymi, rozpoczęte przez Maxa Dehna w początkach dwudziestego wieku, zostało odnowione w końcu wieku w pracach Mostowa, Margulisa i przede wszystkim Gromowa. Nowością ich podejścia jest skupienie się na asymptotycznych, zgrubnych własnościach grup i przestrzeni, które jednak niosą wiele interesujących informacji o pewnej klasie grup.
Opowiem o twierdzeniu Mostowa o sztywności, twierdzeniu Gromowa o wzroście wielomianowym, grupach hiperbolicznych Gromowa oraz (nowszych) zastosowaniach podobnych idei dla ważnych grup niskowymiarowej topologii.
Arnold diffusion is a phenomenon of instability for nearly integrable Hamiltonian systems. I plan to discuss various versions of the problem, the main difficulties, the basic conjectures and the present state of art in the domain.
Opowiem o dwóch najpopularniejszych kryptosystemach asymetrycznych: RSA i kryptosystemie El Gamala. Pierwszy z nich wykorzystuje elementarne własności liczb naturalnych, drugi oparty jest na krzywych eliptycznych nad ciałem skończonym.
In the talk, I am going to explain the so-called local regularity theory for weak solutions to the Navier-Stokes equations. Starting with well understood things such as "epsilon"-regularity theory for suitable weak solutions, I shall continue with the reduction of a local regularity problem to the Liouville-type theorems. A conjecture about mild bounded ancient solutions will be discussed. The positive answer to it would rule out blow-ups of Type I and more generally blow-ups for which a certain "reasonable" scale-invariant quantity is bounded. For example, among such type of quantities are the scaled kinetic energy, the scaled dissipation, and etc. The second part of the talk will address the problem of how scale-invariant norms of the velocity field grow when time approaches a potential blow-up.
Teoria połączeń układów dynamicznych jest obecnie jednym z najbardziej rozwijających się kierunków badań w teorii ergodycznej. Przedstawię jedno z jej zastosowań - dowód twierdzenia ergodycznego T. Tao z 2008 r.
The renormalization is an important idea in dynamical systems, which proved effective in the studies of bifurcations and rigidities, etc. It was first introduced for unimodal maps on the interval in order to explain the universality of period doubling bifurcation sequences. Key idea is to take an appropriate subset of the phase space and consider the first return map to this subset (and rescale the set if necessary). This defines a meta-dynamics on the space of certain dynamical systems. This idea has been applied in many settings and surprisingly the meta-dynamics is often a simpler one, such as a contraction or a hyperbolic system, from which people were able to derive conclusion on the original dynamical systems. In this talk, we discuss the general idea of renormalization and some specific cases, in particular, the renormalization associated to irrationally indifferent fixed points of holomorphic functions.
Let T be a tree with n vertices. The distance matrix of T is an n×n matrix D=[dij]; with dij being the distance between vertices i and j; if i is not equal to j; and dii=0. According to a classical result of Graham and Pollak, the determinant of D is a function only of n and does not depend on the tree. A formula for the inverse of D was obtained by Graham and Lovász. We discuss various recent extensions of these results. These include weighted versions, including matrix weights, a q-analogue and results for the "resistance distance" in an arbitrary graph.
It is a very long-established mathematical procedure to study the features of a geometric space X through its ring of coordinate functions. A more recent idea is to consider instead the noncommutative ring of differential operators on X. This has been exploited in a variety of contexts, and in this lecture I shall examine it from the perspective of C*-algebra theory and Alain Connes' noncommutative geometry. The ring of differential operators is almost commutative in the sense that it is a deformation of a commutative ring. Connes' tangent groupoid captures this fact and gives a link to C*-algebras. There are applications to the Atiyah-Singer index theorem. In addition noncommutative C*-algebras give some surprising insights into the concepts of "symbol" and "ellipticity" as they apply to extensions of the Atiyah-Singer theory.
In many cases, a differential equation will have a solution that involves a formal power series with radius of convergence equal to 0. In the talk it shall be discussed what the meaning of such formal solutions is, and how they can still be used to calculate a proper solution, or obtain other useful information on the asymptotic behaviour of solutions. The talk is intended for non-specialists.
A relative newcomer's view of the history of the Hodge conjecture and attempts to prove it, ending with an overview of the state of the conjecture today.
Let G be a (countable) discrete group acting by diffeomorphisms on a smooth manifold M. Assume that the action is smooth, proper, and co-compact. Let D be a G-invariant elliptic differrential (or perhaps pseudo-differential) operator on M. What should we mean by the equivariant index of D? This talk will take up this issue. The underlying idea is that the equivariant index is the basic topological invariant of the operator. The talk will explain how this is used in the Atiyah-Singer index theorem and in the Baum-Connes conjecture. From this point of view, Atiyah-Singer is the special case of Baum-Connes when the group G is the trivial one-element group.
The example when G=Z, and M is the real line R, and D=d/dx, and Z acts on R by the usual translation action will be considered in detail.
This talk is intended for non-specialists. The relevant definitions will be carefully stated.
Od pierwszych prac kosmologicznych Friedmanna i Lemaître'a wiadome było, że ewolucja standardowego modelu kosmologicznego rozpoczyna się od osobliwości, zwanej osobliwością początkową (potocznie Wielkim Wybuchem). Stan z pewnymi wielkościami dążącymi do nieskończoności należało usunąć z modelu, ale chcąc to zrobić, trzeba było najpierw wiedzieć, co to jest osobliwość, a podanie niezmienniczej definicji osobliwości okazało się trudnym zadaniem matematycznym. Różne definicje prowadziły do różnych konstrukcji i różnych twierdzeń matematycznych. Problem „początku świata” jest nadal otwartym zagadnieniem w kosmologii i nadal inspiruje wiele ciekawych prac o dużym znaczeniu dla matematyki. Wyraz „złośliwa” w tytule odczytu jest wyrażeniem technicznym, a złośliwości matematyczne bywają szczególnie trudne do rozwikłania.
Słabe rozwiązania pełnią ważną rolę także w przypadku nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych. Przedstawimy sposoby definiowania (lub też brak takiej możliwości) pewnych nieliniowych operatorów eliptycznych (przede wszystkim rzeczywistego i zespolonego operatora Monge'a-Ampère'a oraz operatorów hesjanowych) dla naturalnych związanych z nimi klas funkcji, np. funkcji wypukłych i plurisubharmonicznych.
Przedstawiony zostanie szkic uproszczonego algorytmu rozwiązywania osobliwości. Dla każdej rozmaitości algebraicznej istnieje rozmaitość gładka biwymiernie z nią rownoważna. Rozmaitość ta jest otrzymana przez ciąg pewnych prostych przekształceń, tzw. rozdmuchań o gładkich centrach.
What is a quantum group? Depending on whom you ask, the answer could be very different. Some people will say that it is simply a Hopf algebra. Others will give a much more nuanced answer.
In this talk, I will approach quantum groups from a very specific point of view. I will introduce and discuss the notion of a discrete quantum group as a quantum analogue of a discrete group. And I will use this case to explain what a quantum group is for anyone with a background in analysis. I will also discuss this notion in relation (duality) with that of a compact quantum group.
I will be rather elementary, avoid technical difficulties, but nevertheless try to give a flavor of the nice and rich theory and touch some of the more recent developments.
This talk will consist of four points:
- The basic definition of K-theory
- A brief history of K-theory
- Algebraic versus topological K-theory
- The unity of K-theory
The talk is intended for non-specialists. The only pre-requisite is a general mathematical background. All basic definitions will be carefully and explicitly stated.
Kluczem do sukcesu wyszukiwarki Google jest algorytm PageRank. Algorytm ten przypisuje każdej stronie w internecie liczbę (PageRank), której wyszukiwarka następnie używa, by ustalić kolejność stron w wyniku wyszukiwania. W przybliżeniu, PageRank strony jest miarą częstości, z jaką klikający przypadkowo użytkownik odwiedzi tę stronę. Oto niektóre założenia na temat klikającego użytkownika: zaczyna na przypadkowej stronie, z jednej strony przechodzi na następną, klikając losowo wybrany odnośnik, okresowo użytkownik się nudzi i losowo wybiera nową stronę z internetu.
Wykład jest przeznaczony dla szerokiej publiczności matematycznej.
Starting from Connes and Moscovici's original definition of Hopf-cyclic cohomology, we will give a history of Hopf-equivariant cohomology theories and explain how various such equivariant theories are related.
Niech (M,d) będzie rozmaitością dwuwymiarową zupełną, być może z brzegiem, z metryką geodezyjną. Niech X będzie zwartym podzbiorem M. Wtedy, poza przeliczalną liczbą wartości c, każda składowa zbioru S(X,c) punktów, których odległość od X jest równa c, jest albo punktem, albo krzywą zwykłą zamkniętą rozłączną z brzegiem M, albo łukiem przecinającym brzeg M w swoich końcach. Na płaszczyźnie z metryką euklidesową zbiór tych c, dla których S(X,c) nie jest skończoną sumą krzywych zwykłych zamkniętych, ma wymiar Hausdorffa co najwyżej 1/2 i jest pierwszej kategorii.
Punkty stałe równania Feigenbauma są ważne dynamicznie, ponieważ od nich zależy uniwersalne zachowanie przekształceń unimodalnych na granicy chaosu. Wiadomo, że dla każdej liczby parzystej istnieje dokładnie jeden punkt stały w szerokiej klasie przekształceń z punktem krytycznym rzędu równego tej liczbie. Okazuje się, że gdy rząd krytyczności dąży do nieskonczoności, to odpowiednio przeskalowane punkty stałe mają dobrze zdefiniowaną granicę. Co więcej, sama ta granica ma interesującą dynamikę, która może z kolei dostarczyć wartościowych informacji o dynamice i geometrii przekształceń z punktem krytycznym wysokiego, lecz skończonego rzędu.
Dziesięć lat temu we wspólnej pracy z A. Żochowskim (IBS PAN) zaproponowaliśmy pojęcie pochodnej topologicznej funkcjonału zależnego od obszaru geometrycznego. Pochodna jest granicą, wyznaczoną przy wykorzystaniu analizy asymptotycznej, przyrostu funkcjonału kształtu, gdy w obszarze powstaje dziura i jej objętość zbiega do zera. Obecnie pojęcie pochodnej topologicznej jest używane przy rozwiązywaniu zadań optymalizacji kształtu i w teorii równań różniczkowych cząstkowych przy analizie osobliwych zaburzeń obszaru całkowania dla równań typu eliptycznego. Wykład będzie dotyczył zarówno aspektów teoretycznych pochodnej topologicznej, jak też praktycznych, pokazujących zastosowanie pochodnej topologicznej w metodzie typu „level set” przy rozwiązywaniu zadań optymalizacji kształtu i topologii. Prezentowane wyniki są uzyskane we współpracy z ośrodkami we Francji, Niemczech, USA, Brazylii, Austrii, Rosji i w Polsce.
Seeing Mathematics is the study of abstract mathematical structures, it is natural to ask, what is the basic structure needed for the foundation of mathematics? The obvious answer of the before-category-theory era would be: it is a pair (U,e), where e is a binary relation on U satisfying the axioms of set theory. However, knowing about "strange" arguments, such as Russell's Paradox, a "working mathematician" might have doubts here: "How can (U,e) be a mathematical structure? Is not U "too large" being the collection of all sets?" And it is not easy to argue - simply because there are no simple "small" example of such a (U,e). The purpose of the talk is to explain how category theory solves this problem by providing a long sequence of simple and less simple categorical structures that "converges" to those (U,e)'s. In particular the explanation will involve a discussion on "internal and external" versus "small and large".
Struktury pseudolosowe, których elementy są rozłożone w jednostajny, "losowy", sposób, są niezwykle pożytecznym narzędziem kombinatoryki, teorii liczb, teorii układów dynamicznych i informatyki teoretycznej. W wykładzie przytoczymy dwa proste dowody twierdzenia Rotha, oparte o dwie różne struktury tego rodzaju. Następnie powiemy pokrótce, jak oba te rozumowania zostały przekształcone przez Gowersa i Nagle, Rödla, Schachta i Skokana, którzy podali nowe dowody twierdzenia Szemerédiego o ciągach arytmetycznych w gęstych podzbiorach liczb naturalnych. Na końcu wykładu zwięźle skomentujemy perspektywy takiego podejścia, w świetle ostatnich prac Greena, Tao, Bergelsona i Kra.
Classical methods ranging from Brouwer fixed point Theorem to applications of Lefschetz formula to Nielsen theory allow to deduce from global topological information such as the homotopy time of a map existence of periodic orbits of various periods and estimate from below numbers of those orbits.
Modern methods based on variational calculus and hyperbolic dynamics allow to deduce from similar global data existence of large invariant sets with complicated behavior modeled usually on symbolic systems such as topological Markov chains. However, the correspondence with a model is always only continuous and very rarely differentiable and those invariant sets have zero volume.
In this talk we will discuss recent developments which appeared in joint work with Boris Kalinin and Federico Rodriguez Hertz in various combinations. We show that situation changes dramatically when instead of a single differentiable map one considers several commuting maps. In this case global topological information may force invariance of geometric structure such as an absolutely continuous invariant measure or a flat affine structure defined on an invariant set of positive volume. Furthermore, there is a smooth correspondence with a standard algebraic model on an invariant set of positive volume. All this happens for example for actions of Zk, k>1, on the (k+1)-dimensional torus with Cartan homotopy data, i.e. actions whose elements other than the identity are homotopic to corresponding elements of an action by hyperbolic linear maps.
In a further development we show that certain purely dynamical assumptions in the absence of any topological information also force absolute continuity of an invariant measure.
In the group algebra of the symmetric group there is an element which plays an important role in many different topics. It is called the Eulerian idempotent. It permits us to give an explicit version of the Baker-Campbell-Hausdorff formula. It is involved in the decomposition of Hochschild and cyclic homology. It is a key tool in the solution of the Kashiwara-Vergne conjecture. I will give a conceptual construction in the framework of Hopf algebras and operads from which most of its properties can be derived.
W referacie przedstawione będą (niektóre) wyniki tegorocznego laureata medalu Fieldsa Andreia Okounkova.
Naszkicowany zostanie związek między problemem obliczania liczby rozgałęzionych nakryć sfery Riemanna (liczby Hurwitza) i geometrią uzwarconych przestrzeni parametryzujących powierzchnię Riemanna z wyróżnionymi punktami (całki Hodge'a i niezmienniki Gromova-Wittena). Związek ten wyraża się w terminach układów całkowalnych (hierarchia Tody).
Spośród pięciu wyjątkowych algebr Liego w klasyfikacji Elie Cartana skończeniewymiarowych prostych algebr Liego zadawalające modele znane były dotąd jedynie dla 14-wymiarowej algebry g2 i 52-wymiarowej algebry f4. Niedawno odkryłem raczej nieoczekiwane modele również dla 78-wymiarowej algebry e6 i 133-wymiarowej algebry e7. Mowa o tym będzie w odczycie.
Dla zrozumienia odczytu wystarczy znajomość podstaw algebry liniowej.
Wykład będzie dotyczył funkcji z przestrzeni Sobolewa klasy Wm,p(Ω) scharakteryzowanych przez zachowanie formalnej reszty Taylora RFm-1(x,y) w otoczeniu diagonali w ΩxΩ. Teoria Whitney'a robiła to w odniesieniu do funkcji z określonymi i ciągłymi pochodnymi.
Dla klas W1,p prowadzi to do przeniesienia koncepcji przestrzeni Sobolewa na ogólne przestrzenie metryczne z miarą (fraktale).
Niech f:X→X bedzie ciągłym odwzorowaniem zwartej rozmaitości. Punktem okresowym f nazywamy punkt xєX taki, że istnieje nєN, że fⁿ(x)=x. Podamy przegląd metod, rozwijanych na bazie klasycznych teorii Lefschetza i Nielsena, pozwalających szacować (z dołu) ilość punktów okresowych i opisywać wystepujące okresy minimalne. Ze swej konstrukcji metody te dają inwarianty będące niezmiennikami homotopii, a więc narzędzia mało delikatne, ale za to stabilne, gdyż otrzymywane niezmienniki są niezmiennikami deformacji (a więc małej perturbacji). Ich kombinacja z dodatkowymi założeniami na f, jak C¹-gładkość, symetria czy analityczność, pozwala istotnie wzmacniać otrzymywane wyniki.
In this talk the main types of local classification problems will be distinguished and for each of them the main goals and methods will be described.
Grupa geometrów algebraicznych na Uniwersytecie Warszawskim, utworzona i kierowana przez Prof. Białynickiego-Birulę, działa już ponad 40 lat. Na wykładzie chciałbym omówić twierdzenie Białynickiego-Biruli z początków lat 70-tych i twierdzenie Włodarczyka sprzed paru lat, oba dotyczące działania grupy C*, podobne w sensie estetyki i sposobu widzenia geometrii algebraicznej, choć różne w zakresie zastosowań.
Most of the fundamental questions concerning the existence, uniqueness, regularity, stability and bifurcation of solutions to the equations of nonlinear elasticity are open. In the static case, this reflects our ignorance of related problems of the multi-dimensional calculus of variations, while for dynamics it reflects a corresponding ignorance of quasilinear systems of conservation laws.
The lecture will first describe several open problems in the calculus of variations, in which the central convexity condition of quasiconvexity plays a key role, and having a direct bearing on elastostatics. Then some open problems for elastodynamics will be described. Finally, the relation between statics and dynamics will be discussed.
Na wykładzie przedstawię problemy dotyczące liczby klas ideałów ciał kwadratowych urojonych i niezwykłe własności "charakterów rzeczywistych wyjątkowych". Wyeliminowanie istnienia tych charakterów jest podstawowym problemem w analitycznej teorii liczb, jednakże ich obecność jest również pomocna w badaniach rozmieszczenia liczb pierwszych.
Precesja-nutacja Ziemi jest zjawiskiem obserwowanym i modelowanym od ponad 21 wieków. Zainteresowanie tą problematyką wzrosło znacznie w ostatnich dekadach, głównie za sprawą pojawienia się w latach 1970-tych technik geodezji kosmicznej i satelitarnej. Badanie precesji-nutacji ma duże znaczenie praktyczne, polegające na wyznaczaniu i prognozowaniu zmian w czasie parametrów macierzy transformacji między układami współrzędnych niebieskich i ziemskich. Ma też istotne znaczenie poznawcze, ponieważ dostarcza cennych informacji dotyczących kształtu, wewnętrznej budowy i reologii Ziemi, oraz globalnego transportu mas i wymiany momentu pędu w układzie obejmującym część stałą planety (płaszcz) oraz ciekłe i gazowe otoczki (ocean, atmosferę, hydrosferę lądową oraz jądro). Celem prezentacji jest próba syntetycznego opisu zjawiska precesji-nutacji, ze szczególnym uwzględnieniem współczesnych metod obserwacji i modelowania. Omówimy pokrótce model IAU2000, za którego opracowanie międzynarodowy zespół naukowców został uhonorowany prestiżowym wyróżnieniem Unii Europejskiej - Descartes Prize 2003. Będzie przedstawiona również lista zagadnień i problemów, które w opinii autora wymagają kontynuacji badań.
Precesja-nutacja Ziemi jest zjawiskiem obserwowanym i modelowanym od ponad 21 wieków. Zainteresowanie tą problematyką wzrosło znacznie w ostatnich dekadach, głównie za sprawą pojawienia się w latach 1970-tych technik geodezji kosmicznej i satelitarnej. Badanie precesji-nutacji ma duże znaczenie praktyczne, polegające na wyznaczaniu i prognozowaniu zmian w czasie parametrów macierzy transformacji między układami współrzędnych niebieskich i ziemskich. Ma też istotne znaczenie poznawcze, ponieważ dostarcza cennych informacji dotyczących kształtu, wewnętrznej budowy i reologii Ziemi, oraz globalnego transportu mas i wymiany momentu pędu w układzie obejmującym część stałą planety (płaszcz) oraz ciekłe i gazowe otoczki (ocean, atmosferę, hydrosferę lądową oraz jądro). Celem prezentacji jest próba syntetycznego opisu zjawiska precesji-nutacji, ze szczególnym uwzględnieniem współczesnych metod obserwacji i modelowania. Omówimy pokrótce model IAU2000, za którego opracowanie międzynarodowy zespół naukowców został uhonorowany prestiżowym wyróżnieniem Unii Europejskiej - Descartes Prize 2003. Będzie przedstawiona również lista zagadnień i problemów, które w opinii autora wymagają kontynuacji badań.
The term null Lagrangians pertains to nonlinear differential expressions whose integral mean depends only on its boundary values. The building blocks of null Lagrangians are the Jacobian determinants of Sobolev mappings (having in mind applications to nonlinear elasticity such mappings are referred to as deformations of elastic bodies). Many peculiar properties of null Lagrangians play critical role in the calculus of variations (polyconvex integrands). Recent advances in harmonic analysis will be used to derive estimates of the null Lagrangians.
Everybody is welcome.
Silniki typu Halla (Hall thrusters lub stationary plasma thrusters) są stosowane do korekt orbity oraz pozycjonowania satelitów. Ostatnio także w dalekich misjach kosmicznych. Napęd uzyskuje się poprzez rozpędzanie jonów w skrzyżowanych polach - elektrycznym i magnetycznym. Do opisu plazmy stosować można bądź to podejście kinetyczne, bądź też znacznie prostsze podejście płynowe. W zasadzie opis płynowy stosuje się w przypadku, gdy średnia droga swobodna cząstek, l, jest znacznie krótsza aniżeli charakterystyczne rozmiary urządzenia L, tzn. l<<L. W naszym przypadku mamy relację odwrotną: L>>l. Tym niemniej, jak potwierdzają obliczenia numeryczne, opis płynowy daje rezultaty w zasadzie nie gorsze aniżeli opis kinetyczny. Nieliniowość równań prowadzi jednak do pojawiania się osobliwości. Trzeba wtedy uogólnić pojęcie rozwiązania. W płynie zdominowanym przez zderzenia uogólnienie prowadzi do fal uderzeniowych (skokowe nieciągłości rozwiązania). Gdy brak jest zderzeń - cząstki wolniejsze z przodu mogą być wyprzedzane przez cząstki szybsze z tyłu, co prowadzić będzie do wielowartościowych pól prędkości. To z kolei powoduje, że gęstości cząstek stają się w ogólności miarami. Tak więc pojęcie słabego rozwiązania jest tu zasadniczo różne od przypadku znanego dla zwykłych płynów. Eksperymenty zarówno fizyczne jak i numeryczne wykazują wiele niestabilności rozwiązań. Wydaje się więc, że możemy tu mieć również do czynienia z chaosem deterministycznym. Taka możliwość zostanie również przedyskutowana.
Klasyczne Twierdzenie o Indeksie Atiyaha-Singera wyraża indeks operatora eliptycznego w terminach klas charakterystycznych. W odczycie będzie mowa o niezmiennikach indeksu wyższego rzędu.
Zamierzam skomentować kilka (5-7) otwartych problemów dotyczących teorii ciał wypukłych w Rn, teorii przestrzeni Banacha i teorii funkcji. Problemy są różnej dawności i nie zawsze znanego autorstwa. Wymagana wiedza do zrozumienia minimalna.
Przekształcenia kwazikonforemne i geometryczne zagadnienia wariacyjne takie jak teoria przekształceń harmonicznych w naturalny sposób prowadzą do teorii przekształceń Sobolewa między rozmaitościami, a nawet między przestrzeniami metrycznymi. Jedno z podstawowych pytań pojawiających się na samym początku teorii to pytanie o gęstość przekształceń gładkich w przestrzeni przekształceń Sobolewa (w przypadku przekształceń między przestrzeniami metrycznymi pytamy się o gęstość przekształceń lipschitzowskich). Omówię nowe rezultaty dotyczące związku między gęstością przekształceń i topologiczną strukturą rozmaitości i wielościanów.
Mimo iż bi-lipschitzowsko homeomorficzne przestrzenie metryczne na ogół uważa się w analizie na przestrzeniach metrycznych za równoważne, to jednak, jak pokażę, gęstość przekształceń lipschitzowskich może zostać utracona przy bi-lipschitzowskiej modyfikacji przeciwdziedziny.
Omówię też rezultaty dotyczące przynależności do przestrzeni Hardy'ego przeciągnięć form różniczkowych. Są to daleko idące uogólnienia ważnych rezultatów z pogranicza analizy harmonicznej i równań różniczkowych cząstkowych.
W 1967 Hillel Furstenberg wprowadził do teorii ergodycznej pojęcie rozłączności układów dynamicznych. Rozłączność układów implikuje ich ekstremalny nieizomorfizm. Związany z tym program badań polega na podzieleniu klasy wszystkich układów dynamicznych na rozłączne rodziny. W trakcie wykładu wskażemy na niektóre wyniki tej teorii związane z entropią oraz własnościami mieszającymi. Omówimy pewne, związane z pojęciem rozłączności, pojęcia: faktory, połączenia, operatory Markowa, relatywna teoria ergodyczna. W końcowej części wykładu będziemy porównywali układy dynamiczne pochodzenia probabilistycznego (układy Gaussa, zawieszenia Poissona) z gładkimi układami dynamicznymi na powierzchniach nawiązując do niedawno osiągniętych naszych, wspólnych z K. Frączkiem, wyników dotyczących potoków specjalnych nad przekładaniami odcinków.
Operatory i półgrupy operatorów Markowa opisują ewolucję gęstości rozkładów miar jednorodnych procesów Markowa i mają szerokie zastosowania w badaniu układów dynamicznych, równań dyfuzji i transportu. W ostatnich latach stosuje się je z powodzeniem w modelach biologicznych, między innymi w opisie cyklu komórkowego oraz w badaniu strukturalnych modeli populacyjnych. W czasie wykładu przedstawimy przykłady zastosowań i podamy podstawowe rezultaty dotyczące asymptotycznego zachowania się półgrup Markowa: asymptotyczną stabilność, wymiatanie, alternatywę Foguela.
I will survey the growth models introduced by the physicists: stochastic ones: Eden model, DLA (diffusion-limited aggregation), DBM (dielectric breakdown model) and the deterministic ones like Hele-Shaw flows. I will also show how Loewner differential equation allows to unify them.
W roku 2002 medal Fieldsa otrzymali dwaj matematycy zajmujący się geometrią algebraiczną. Jednym z nich jest Vladimir Voevodsky. Często wymienianym osiagnięciem laureata jest dowód hipotezy Milnora wiążącej K-teorię i kohomologie Galois. Obie te teorie opisują pewne arytmetyczne własności ciał. Dowód hipotezy Milnora wymaga rozwinięcia nowej teorii kohomologii dla rozmaitości algebraicznych. Wydaje się, że głównym wkładem Voevodsky'ego jest zastosowanie metod topologicznej teorii homotopii. Voevodsky rozszerzył świat rozmaitości algebraicznych i skonstruował kategorię homotopijną. Jest to w pewnym stopniu realizacja idei A. Grothendiecka, który postulował istnienie kategorii motywów. W kategorii Voevodsky'ego szczególną rolę odgrywają motywiczne kohomologie, których konstrukcja pochodzi od A. Suslina. Okazało się później, że są one izomorficzne z wyższymi grupami Chow zdefiniowanymi przez S. Blocha.
Postaram się wyjasnić główne idee i konstrukcje Voevodsky'ego. Nie będę zakładał znajomości K-teorii, kohomologii Galois, grup Chow itp.
W 1972 roku René Thom, dyskutując o nauczaniu szkolnym, zwrócił uwagę na to, że właściwą dziedziną logiki, rachunku zdań są jedynie „grube wiązania” rozumowania matematycznego, odpowiadające temu, co w psycholingwistyce określa się mianem struktur powierzchniowych, przeciwstawianych strukturom głębokim, biorącym udział w interpretacji semantycznej, w rozumieniu znaczenia wypowiadanych zdań. W odczycie przedstawiona będzie próba systematycznego rozwinięcia tej idei. W koncepcji trojakiego oblicza matematyki wyróżnia się: 1) idee głębokie, 2) formy powierzchniowe (wszelkiego rodzaju nazwy i symbole), które są niezbędnymi narzędziami umożliwiającymi zajmowanie się matematyką, stosowanie jej i przekazywanie; 3) modele formalne (w teoriach aksjomatycznych). Idea głęboka tworu matematycznego (pojęcia, twierdzenia, procedury itp.) to rozumienie sensu, znaczenia tego tworu. Na przykład, idea głęboka liczby π jest czymś innym, niż jej model πD w teorii Dedekinda i jej model πC w teorii Cantora (πD i πCsą pewnymi zbiorami, przy czym πD≠ πC). Idee głębokie sterują rozumowaniem. Cechuje je semantyczna poprawność i m.in. odporność na dysonanse poznawcze. Na ogół mamy jakąś jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy ideą głęboką danego tworu, jego formą powierzchniową i jego modelem formalnym, ale istnieje wiele przykładów ważnych rozbieżności. W przypadku konfliktu pojęciowego idee głębokie biorą górę nad modelami formalnymi (pod warunkiem, że można uniknąć formalnej sprzeczności lub formalnego błędnego koła); najmocniejszym argumentem na rzecz tego stwierdzenia jest „zapętlenie poznawcze” dwóch formalnych definicji pary uporządkowanej w aksjomatycznej teorii mnogości. Idee głębokie są częścią tego, co określane bywa jako intuicja, jednakże słowo „intuicja” jest zbyt wieloznaczne; przegląd znaczeń, jakie matematycy nadają temu słowu, pokazuje, że obejmuje ono zjawiska o bardzo różnym charakterze, nieraz odległym od idei głębokich.
Fano varieties are very classical objects. In modern language, they are characterized by the property that -K is ample. It includes projective spaces, conic bundles, G/P etc. It was recently showed by Graber-Harris-Starr that a Fano variety has a rational point over a function field in char. 0. De-Jong and Starr proved the same result over a function field in char. p>0, under a supplementary assumption. We showed that over a finite field, a Fano variety has a rational point as well, thereby answering a classical conjecture by Lang and Manin. We will explain how the Fano condition is a special case of a much weaker assumption on Chow groups which implies the existence of a rational point.
In the 1970s J. W. Cannon promoted the goal of finding a short list of elementary properties, easily checked, which would distinguish n-dimensional manifolds among topological spaces. Cannon proposed that for n>4 the criterion might be that a metric space X is a topological n-manifold if and only if it is a generalized n-manifold possessing a mild general property called the Disjoint Disks Property (any two maps of a 2-cell B2 into X can be approximated, arbitrarily closely, by maps with disjoint images). Cannon's proposal proved to be almost correct, and the story has intriguing contrasts with Torunczyk's characterization of Hilbert cube manifolds. This talk will define the relevant terms, will describe exactly how the classification of n-manifolds unfolded (n>4), will compare that classification with the one for Hilbert cube manifolds, and finally will describe recent work of T. L. Thickstun and the speaker which involves a different sort of general position property and which leads to a recognition criterion for 3-manifolds, assuming the 3-dimensional Poincare Conjecture is true.
Omówimy szereg nierówności dotyczących miar gaussowskich - nierówność izoperymetryczną, nierówność Ehrharda, nierówność Bobkowa, S-nierówność, hipotezę korelacyjną. Nierówności te znalazły istotne zastosowania w rachunku prawdopodobieństwa. Wszystkie przedstawione rezultaty mają elementarne sformułowania, ale dowody części z nich są dosyć złożone, a hipoteza korelacyjna pozostaje wciąż otwarta (udowodnione zostały jedynie jej szczególne przypadki).
Already Riemann knew that the Riemann sphere (or complex projective line) is the simplest Riemann surface (or algebraic curve). By the end of the XIXth century it also became clear that the corresponding "simplest" algebraic surfaces are the so called rational surfaces.
It is only in the last 10 years that the correct definition of the "simplest" higher dimensional algebraic varieties was found.
The aim of this lecture is to motivate and explain the definition - and its basic properties - mostly through examples.
Let (X,B,m,T) be a probability preserving transformation and let G be a locally compact, Polish (LCP) group. Given φ:X→G measurable, define the G-skew product Tφ:X×G→X×G by Tφ(x,y):=(Tx,φ(x)y). This preserves the product measure m×mG (where mG denotes left Haar measure on G) and it is natural to ask for the ergodic properties of Tφ.
I'll review some results and constructions (old and new) including an explanation of the Herman-Zimmer theorem that there is an G-skew product ergodic with respect to the product measure m×mG if and only if G is amenable.
The field of geometric rigidity is concerned with various interesting nonlinear representations of groups, e.g. as fundamental groups of manifolds, or as diffeomorphisms of compact manifolds. The underlying methods involve interplay of Margulis' superrigidity and its derivatives, Gromov' theory of rigid geometric structures, and hyperbolic dynamics. The first ingredient is the most powerful tool but it is only applicable if the groups in question are sufficiently "rigid" themselves. The interplay of superrigidity and the theory of nonstationalry normal forms developed by M. Guysinsky and the author brought about major advances in the understanding of of local rigidity of actions of higher-rank lattices in semisimple Lie groups (A. K. - R. Spatzier, G.A. Margulis - N. Qian, V. Nitica - A. Torok, G.A. Margulis - D. Fisher). These developments will be briefly surveyed in the first part of the talk.
The main part of the talk will deal new global results. They are concerned with actions of higher-rank abelian groups on compact manifolds. Since those groups are amenable no purely measurable general tools like cocycle superrigidity are available. Hyperbolic dynamics sinuous semiconjugacy h between Φ and Φ0 and μ is the only measure which is mapped to Lebesgue measure.
Needless to say, this result presents a sharp contrast to the rank one case where even for an Anosov map are close to a linear the topological conjugacy with the linear model is usually singular.
The problem of enumeration is well known in Combinatorial Analysis, Computer Science and Information Theory. There are well known methods for enumeration of permutations of numbers 1,2,...,n, for numerations of binary words of the length n with fixed numbers of ones and for many other combinatorial problems which have non-exponential memory and polynomial number of operations per letter when n goes to infinity. We describe a new method for these combinatorial problems which also uses non-exponential memory and enumeration time O(log n)const operations.
The class of spherical space forms is an important class of manifolds considered in geometry, algebra and topology. In this talk we will discuss the classification questions for these manifolds from both unstable and stable point of view. The stable classification problem asks for a classification of these manifolds after multiplication by tori or Euclidean spaces.
Dalej "pierścień" znaczy "pierścień łączny".
Pierścień nazywa się nil, gdy dowolny jego element podniesiony do pewnej potęgi (zależnej od elementu) jest zerem. Istnieje wiele otwartych problemów dotyczących tego typu pierścieni. Niewątpliwie najsłynniejszym wśród nich jest postawiony w 1930 roku przez Koethe problem, który ma dość niepozorne sformułowanie: Czy każdy jednostronny nil ideał dowolnego pierścienia jest zawarty w pewnym dwustronnym nil ideale tego pierścienia?
Problem ten przyciąga uwagę od początku swego istnienia. Otrzymano wiele jego częściowych rozwiązań i znaleziono różne równoważne sformułowania. Badano też różne problemy pokrewne. Prace te doprowadziły do wielu ciekawych wyników, wśród których można wymienić rozwiązanie słynnego problemu Burnside'a z teorii grup.
W ostatnim czasie uzyskano w badaniu nil pierścieni istotny postęp. Przyczyniły się do tego przede wszystkim prace A. Smoktunowicz. Rozwiązała ona kilka starych problemów ściśle związanych z problemem Koethe, a także, uważany przez wielu za szczególnie trudny, problem Levitzkiego: Czy istnieje prosty nil pierścień?
Zamierzam omówić wymienione wyżej zagadnienia oraz inne główne wyniki i pytania. Będę starał się przedstawić je elementarnie, nie angażując zbyt wielu pojęć i nie wchodząc w techniczne detale.
