Prof. dr hab. Janusz Grabowski kierownikiem projektu "Gradowana geometria różniczkowa wraz z zastosowaniami"
Z przyjemnością informujemy o przyznaniu przez NCN grantu WEAVE-UNISONO na realizację projektu badawczego "Gradowana geometria różniczkowa wraz z zastosowaniami " realizowanego we współpracy z Uniwersytetem Hradec Kralove.
Kierownikiem polskiego zespołu, w którego skład wchodzą jeszcze główny wykonawca, wykonawca podoktorski i doktorant, jest prof. dr hab. Janusz Grabowski. Grant jest 36-miesięczny, a przyznane przez NCN finansowanie polskiego zespołu wynosi 838 800 zł.
Koncepcja supergeometrii wywodzi się z idei supersymetrii, zrodzonej na potrzeby fizyki. W istocie, zunifikowana teoria mocnych, słabych, elektromagnetycznych i grawitacyjnych oddziaływań jest sformułowana w języku superrozmaitości, czyli rozmaitości Z_2-gradowanych, dla których lokalne współrzędne dzielą się na nieparzyste (stopnia 1) i parzyste (stopnia 0). Elementarnym przykładem jest super-wersja wiązki stycznej do rozmaitości M, dla której algebrą funkcji gładkich jest odpowiednia algebra Grassmanna form różniczkowych na M (1-formy anty-komutują!). Potrzeba rachunku różniczkowego z anty-komutującymi zmiennymi stała się jasna, gdy fizycy odkryli, że każda cząstka elementarna jest albo fermionem (np. elektron) albo bozonem (np. foton), a różnica polega na rodzaju oddziaływania; pola fermionowe anty-komutują, co implikuje, że fermiony nie mogą współistnieć w tym samym stanie kwantowym (zakaz Pauliego).
Jeżeli współrzędne, poza parzystością, są wyposażone dodatkowo w wagę (stopień), np. pewną liczbę całkowitą, to mówimy o superrozmaitości gradowanej. Nawet w standardowej geometrii różniczkowej dodanie gradacji wzbogaca teorię i znajduje zastosowanie w różnych dziedzinach, tym bardziej, że np. wiązki wektorowe są prostym przykładem (parzystych) rozmaitości gradowanych (jednorodne funkcje wielomianowe wzdłuż włókien mają stopień), a trudno przecenić ich znaczenie w matematyce i fizyce, ale również w ekonomii, medycynie itd. Nasz projekt jest poświęcony wszechstronnym badaniom takich (super)rozmaitości gradowanych, różnych ich koncepcji i wzajemnych relacji, oraz możliwych zastosowań. Jest wiele otwartych problemów w tej dziedzinie, istotnych z punktu widzenia analizy matematycznej, geometrii, topologii, równań różniczkowych i wielu obszarów fizyki.
