JEDNOSTKA NAUKOWA KATEGORII A+

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Fourier coefficients of level 1 Hecke eigenforms

Tom 200 / 2021

Mitsuki Hanada, Rachana Madhukara Acta Arithmetica 200 (2021), 371-388 MSC: Primary 11F11; Secondary 11F30. DOI: 10.4064/aa200716-21-3 Opublikowany online: 7 October 2021

Streszczenie

Lehmer’s 1947 conjecture that $\tau (n)$ never vanishes is still unresolved. In this context, it is natural to consider variants of Lehmer’s conjecture. We determine many integers that cannot be values of $\tau (n)$. For example, among the odd numbers $\alpha $ such that $|\alpha | \leq 99$, we determine that $$ \tau (n) \notin \{-9, \pm 15, \pm 21, -25, -27, -33, \pm 35, \pm 45, \pm 49, -55, \pm 63, \pm 77, -81, \pm 91 \}.$$ Moreover, under GRH, we have $\tau (n) \neq -|\alpha |$ and $\tau (n) \notin \{9,25,27,39,75, 81\}.$ We also consider the level 1 Hecke eigenforms in dimension 1 spaces of cusp forms. For example, for $\Delta E_4 = \sum _{n = 1}^{\infty } \tau _{16}(n)q^n$, we show that $$ \tau _{16}(n) \notin \{\pm \ell : 1\leq \ell \leq 99,\, \ell \text { is odd},\, \ell \neq 33,55,59,67,73,83,89,91\} \cup \{-33,-55,-59,-67,-89,-91\}.$$ Furthermore, we implement congruences given by Swinnerton-Dyer to rule out additional large primes which divide numerators of specific Bernoulli numbers. To obtain these results, we make use of the theory of Lucas sequences, methods for solving high degree Thue equations, Barros’ algorithm for solving hyperelliptic equations, and the theory of continued fractions.

Autorzy

  • Mitsuki HanadaDepartment of Mathematics
    Wellesley College
    Wellesley, MA 02481, USA
    e-mail
  • Rachana MadhukaraDepartment of Mathematics
    Massachusetts Institute of Technology
    Cambridge, MA 02139, USA
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek