JEDNOSTKA NAUKOWA KATEGORII A+

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Uniform continuity and normality of metric spaces in $\mathbf{ZF}$

Tom 65 / 2017

Kyriakos Keremedis Bulletin Polish Acad. Sci. Math. 65 (2017), 113-124 MSC: 03E25, 54E35, 54E45, 54E50, 54C20, 54C30. DOI: 10.4064/ba8122-10-2017 Opublikowany online: 23 October 2017

Streszczenie

Let $\mathbf{X}=(X,d)$ and $\mathbf{Y}=(Y,\rho )$ be two metric spaces.

(a) We show in $\mathbf{ZF}$ that:

(i) If $\mathbf{X}$ is separable and $f:\mathbf{X}\rightarrow \mathbf{Y}$ is a continuous function then $f$ is uniformly continuous iff for any $ A,B\subseteq X$ with $d(A,B)=0$, $\rho (f(A),f(B))=0$. But it is relatively consistent with $\mathbf{ZF}$ that there exist metric spaces $\mathbf{X}$, $ \mathbf{Y}$ and a continuous, non-uniformly continuous function $f:\mathbf{X} \rightarrow \mathbf{Y}$ such that for any $A,B\subseteq X$ with $d(A,B)=0$, $\rho (f(A),f(B))=0$.

(ii) If $S$ is a dense subset of $\mathbf{X}$, $\mathbf{Y}$ is Cantor complete and $f:\mathbf{S}\rightarrow \mathbf{Y}$ a uniformly continuous function, then there is a unique uniformly continuous function $F:\mathbf{X} \rightarrow \mathbf{Y}$ extending $f$. But it is relatively consistent with $\mathbf{ZF}$ that there exist a metric space $\mathbf{X}$, a complete metric space $\mathbf{Y}$, a dense subset $S$ of $\mathbf{X}$ and a uniformly continuous function $f:\mathbf{S} \rightarrow \mathbf{Y}$ that does not extend to a uniformly continuous function on $\mathbf{X}$.

(iii) $\mathbf{X}$ is complete iff for any Cauchy sequences $ (x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ and $(y_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ in $\mathbf{X}$, if $\overline{ \{x_{n}:n\in \mathbb{N}\}}\cap \overline{\{y_{n}:n\in \mathbb{N}\}} =\emptyset $ then $d(\{x_{n}:n\in \mathbb{N}\},\{y_{n}:n\in \mathbb{N} \}) \gt 0 $.

(b) We show in $\mathbf{ZF}$+$\mathbf{CAC}$ that if $f:\mathbf{X} \rightarrow \mathbf{Y}$ is a continuous function, then $f$ is uniformly continuous iff for any $A,B\subseteq X$ with $d(A,B)=0$, $\rho (f(A),f(B))=0$.

Autorzy

  • Kyriakos KeremedisDepartment of Mathematics
    University of the Aegean
    Karlovassi, Samos 83200, Greece
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek