2002
rok akademicki 2002/2003
Dennis Sullivan zapytał około 1975 roku, czy geometryczna monodromia indukowana przez deformacje osobliwości krzywej algebraicznej w C2 jest zawsze różnowartościowa. W 1992 udało się rozstrzygnąć to pytanie pozytywnie dla najprostszych osobliwości: An i Dn. Wytłumaczę problem i pokażę, że dla "następnej" osobliwości E6 odpowiedź jest negatywna.
Jako wprowadzenie przedstawiamy w skrócie pojęcie czasu lokalnego samoprzecięć procesów stochastycznych o wartościach w przestrzeni skończeniewymiarowej.
Następnie przejdziemy do procesów przyjmujących wartości w przestrzeni dystrybucji temperowanych S'(Rd) (czyli przestrzeni sprzężonej do przestrzeni Schwartza funkcji gładkich na Rd, szybko znikających w nieskończoności). Pokażemy, jak tego typu procesy pojawiają się jako granice fluktuacji układów cząstek.
Zdefiniujemy czas lokalny samoprzecięć procesów gaussowskich w S'(Rd) i przedstawimy wyniki dotyczące istnienia oraz ciągłości trajektorii czasu lokalnego samoprzecięć dla pewnej klasy procesów gaussowskich. W szczególności zajmiemy się procesami będącymi granicami fluktuacji α-stabilnych układów cząstek.
Jeśli wystarczy czasu, omówimy też, co dzieje się, gdy czas lokalny samoprzecięć nie istnieje.
Dla obszaru płaskiego D pseudometryki Kobayashiego-Roydena �� i Hahna h są równe wtedy i tylko wtedy, gdy D jest jednospójny. W roku 1995 Overholt pokazał, że dla D\subset Cn, n≥3, mamy hD≡��D. Przypadek n=2 pozostawał nierozstrzygnięty od około 20 lat.
Niech D1,D2\subset C. Autor dowodzi, że hD1\times D2≡��D1\times D2 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z D1, D2 jest jednospójny lub biholomorficzny z C\{0}. W szczególności, istnieją obszary D\subset C², dla których hD\not≡��D.
Przedstawimy kilka matematycznych modeli tak zwanego szkła spinowego. Mimo wielu upraszczających założeń (takich jak oddziaływanie ze sobą wszystkich, nie tylko sąsiednich, atomów) i niezbyt skomplikowanej struktury matematycznej wciąż bardzo daleko do dobrego i ścisłego matematycznie zrozumienia zachowania się tych modeli. Wiele hipotez (uzyskanych przez fizyków na drodze heurystycznych, często bardzo pomysłowych, lecz mało rygorystycznych rozumowań oraz numerycznych eksperymentów) pozostaje nadal otwartych.
Skoncentrujemy się na modelu Sheringtona-Kirkparicka (SK), dla którego w ostatnich latach uzyskano wiele interesujących wyników i w miarę kompletny opis zachowania systemu przynajmniej w obszarze tak zwanej wysokiej temperatury. Przedstawimy kilka z tych rezultatów - istnienie granicy termodynamicznej (przy dowolnej temperaturze), postać tej granicy, typowe zachowanie losowej miary Gibbsa.
Niestety wciąż niewiele jest wyników dotyczących obszaru niskiej temperatury (najciekawszego z punktu widzenia fizyków). Ostatnio jednak Talagrand otrzymał kilka interesujących rezultatów i w tym przypadku dla modelu oddziaływania p spinów bedącym modelem pośrednim między modelem SK a bardzo prostym modelem losowej energii (REM) zaproponowanym przez Derridę.
Badania funkcji całkowalnych z kwadratem zapoczątkowane w latach dwudziestych ubiegłego wieku (ściśle związane z problemem klasyfikacji obszarów holomorficzności) doprowadziły do wprowadzenia jądra i metryki Bergmana. Zamierzam przedstawić te pojęcia, ich podstawowe własności i kilka najważniejszych wyników, które pojawiły się na przestrzeni ostatnich lat. Skupię się głównie na związkach między hiperwypukłością, zupełnością względem metryki Bergmana oraz tzw. wyczerpywalnością obszarów na płaszczyźnie zespolonej. W szczególności przedstawię charakterystykę obszarów typu Zalcmana (płaskich obszarów ograniczonych, których brzeg ma nieskończenie wiele składowych spójnych) ze względu na zupełność w sensie metryki Bergmana.
Pierścienie grupowe pojawiają się w naturalny sposób w teorii grup, teorii liczb i topologii algebraicznej. Celem odczytu jest z jednej strony ukazanie tych kontekstów, a z drugiej - przedstawienie kilku problemów otwartych dotyczących struktury algebraicznej takich pierścieni.
Podzbiór E przestrzeni CN nazywamy zupełnie pluripolarnym, jeśli istnieje taka funkcja U plurisubharmoniczna w CN, że E={U=-∞}.
Jeśli f jest funkcją holomorficzną w obszarze D \subset CN taką, że jej graf Gf(D):={(z,f(z)); z\in D} jest zbiorem zupełnie pluripolarnym w CN×C, to f nie jest analitycznie przedłużalna poza D. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Jak pokazali niedawno A. Edigarian i J. Wiegerinck, istnieje funkcja f holomorficzna w kole jednostkowym D \subset C, dla której D jest maksymalnym obszarem istnienia, a mimo to jej graf nie jest kompletnie pluripolarny.
Przedmiotem wykładu jest przedstawienie ulepszonej wersji takiej funkcji oraz podanie pewnej klasy obszarów D \subset CN, dla których istnieją funkcje holomorficzne mające grafy zupełnie pluripolarne.
Problem, czy dla każdego obszaru holomorficzności D \subset CN istnieje funkcja holomorficzna f mająca graf Gf(D) zupełnie pluripolarny, nie jest rozwiązany (nawet w przypadku N=1).
Twierdzenie Abela-Rufiniego mówi o tym, że ogólnego równania algebraicznego stopnia powyżej 4 nie da się rozwiązać w pierwiastnikach. W podręcznikach i monografiach podaje się jego algebraiczny dowód, opierający się na nierozwiązalności grupy Galois odpowiedniego rozszerzenia ciał algebraicznych. Na wykładzie będzie podany pełny dowód opierający się na nierozwiązalności grupy monodromii funkcji algebraicznej y=f(x) zadanej typowym równaniem algebraicznym F(x,y)=0. Ponadto będą podane związki grupy monodromii i grupy przekształceń nakrywających z grupami automorfizmów pewnych ciał algebraicznych.
W 1997 r. Adam Parusiński i Zbigniew Szafraniec pokazali, że jeżeli f jest regularnym morfizmem rzeczywistych zbiorów algebraicznych X i W, to istnieją wielomiany g1,g2,...,gs na W takie, że dla w należących do W charakterystyka Eulera przeciwobrazu punktu w względem morfizmu f jest równa sumie znaków tych wielomianów w punkcie w.
Niech F będzie rodziną rzeczywistych funkcji analitycznych zdefiniowanych w otoczeniu zwartego zbioru semianalitycznego Ω. Z każdym x z Ω można stowarzyszyć kiełek X zbioru analitycznego w punkcie x, w naturalny sposób zdefiniowany przez rodzinę F. Niech Lx będzie przekrojem X ze sferą o małym promieniu i środku w punkcie x. Wykorzystując metody A. Parusińskiego i Z. Szafrańca oraz własności rodzin noetherowskich zdefiniowanych przez A. El Khadiri i J. Cl. Tougerona można pokazać, że istnieją takie funkcje analityczne h1,h2,...,hs zdefiniowane w otoczeniu Ω, że połowa charakterystyki Eulera Lx jest sumą znaków funkcji hi w punkcie x.
Charakteryzacja ta pozwala zastosować pewne metody badania niezmienników algebraicznych związane z własnościami funkcji algebraicznie konstruowalnych do przypadku zbiorów analitycznych zdefiniowanych przez rodziny noetherowskie.
W 1883 roku 20-letni Corrado Segre przedstawił na Uniwersytecie w Turynie pracę dyplomową (Tesa di laurea) na temat geometrii kwadryki dowolnego wymiaru. Wyniki te okazały się bardzo istotne 100 lat później, w okresie najbujniejszego rozwoju teorii wiązek wektorowych. Praca Corrado Segre pisana była, zanim ugruntowały się podstawowe pojęcia algebry liniowej i teorii mnogości. Niezmiernie interesujące jest porównanie problematyki i metod używanych 120 lat temu z problematyką i metodami współczesnymi. Można na tym przykładzie zrozumieć, że postęp w matematyce to nie tylko odkrywanie coraz to nowych twierdzeń. Temu będzie poświęcony wykład. Nie będziemy stronić od quasifilozoficznej dyskusji, czy rzeczywiście kwadryki są dziś inne niż dawniej, czy to tylko my, ich badacze.
Odczyt poświęcony jest ogólnej metodzie wyznaczania optymalnych oszacowań wartości rozmaitych funkcjonałów statystycznych na różnych nieparametrycznych rodzinach rozkładów, wyrażonych w terminach momentów rozkładu. Metoda polega na reprezentacji statystycznego funkcjonału i rodziny rozkładów odpowiednio jako ustalonego elementu i wypukłego stożka we wspólnej rzeczywistej przestrzeni Hilberta i wyznaczeniu rzutu funkcjonału na stożek wypukły. Wówczas norma rzutu funkcjonału na stożek stanowi optymalne oszacowanie górne funkcjonału, a rozkład osiągający oszacowanie wyznacza się przez proste przekształcenie rzutu. Analogicznie wyznacza się dolne oszacowania. Zostaną też przedstawione rozmaite przykłady zastosowań w statystyce i teorii niezawodności oraz problemy otwarte.
Drugą część XVI problemu Hilberta stanowi pytanie o ilość i położenie tzw. "cykli granicznych" (tzn. zamkniętych, izolowanych orbit) wielomianowego pola wektorowego na płaszczyźnie. W swojej pierwotnej wersji problem jest wciąż bardzo daleki od ostatecznego rozstrzygnięcia. Rozpatrywana jest tzw. infinitezymalna (linearyzowana) wersja XVI problemu polegająca na rozważaniu pól wektorowych będących zaburzeniem pola hamiltonowskiego. W takim przypadku problem cykli granicznych wiąże się z badaniem funkcji zdefiniowanych jako całki z formy meromorficznej po cyklach - tzw. całek abelowych.
W swoim referacie zamierzam omówić znane rezultaty związane z tą tematyką oraz opowiedzieć pokrótce o swojej pracy, która dotyczy zaburzeń wielomianowych wielowymiarowych układów z płaszczyzną niezmienniczą, na której badana jest możliwość pojawienia się cykli granicznych.
Lukacs (1955) udowodnił, że niezależność sumy i ilorazu dodatnich niezależnych zmiennych losowych charakteryzuje rozkład gamma. Macierzowa wersja tego twierdzenia tradycyjnie wymagała dodatkowego założenia niezmienniczości rozkładu "ilorazu". To sugerowało, iż niezmienniczość ta ma głęboki związek z rozważanym problemem. Okazuje się jednak, że założenie to można pominąć pracując na gładkich gęstościach. W wystąpieniu przedstawiony zostanie dowód mocnej wersji twierdzenia Lukacsa w stożku macierzy symetrycznych dodatnio określonych. Zasadnicza część dowodu to rozwiązanie dwóch równań funkcyjnych wykorzystujące metody różniczkowania bez współrzędnych w przestrzeni euklidesowej macierzy symetrycznych.
W referacie będą poruszone pewne zagadnienia związane z jawnymi konstrukcjami rozmaitości symplektycznych oraz twierdzeniami o istnieniu struktur symplektycznych. Postaram się zaprezentować szerszy kontekst bardziej fundamentalnych problemów oraz opowiem pouczającą historię o rezultatach i sukcesach mojego ucznia Jarosława Kędry.
Nieskończona grupa Coxetera prowadzi do interesującego obiektu geometrycznego, tzw. kompleksu Davisa. Chcę omówić jego konstrukcję i zastosowania. Chcę też opowiedzieć o wariancie hipotezy Hopfa (przepowiadającej znak charakterystyki Eulera ujemnie zakrzywionych rozmaitości) dla rozmaitości powstających przez konstrukcję Davisa. Tę hipotezę można atakować przy użyciu L²-kohomologii.
In the prominent paper (1895) H. Poincaré first formulated the theorem, which is known now as the Poincaré duality for closed orientable manifolds. In spite of the fact that complete formulation and full proof were presented much afterwards, without doubt H. Poincaré is considered as the founder of the theory where Poincaré duality plays the crucial role. The lecture is devoted in particular to the history of the development of the theory of analysis on smooth manifolds and to the formulas which have the name "the Hirzebruch-type formula". Also several applications of developed theory such as higher signatures, the Novikov conjecture and the local Hirzebruch formula will be presented.
