Activities / Seminars in IMPAN

Stochastic Processes

organizator: prof. dr hab. Łukasz Stettner przy wspólpracy prof. dr hab. Jerzego Zabczyka i prof. Tomasza Komorowskiego

Tuesday, 12.00-14.00, 106; specjalne sesje seminarium będą się odbywały w godz. 11.30-14.45

19.11.24 seminar in a hybrid form in the room 405,
11.30-13.00 Tomasz Klimsiak (UMK), Problem Dirichleta dla półliniowych równań z operatorem całkowo-różniczkowym
Abstrakt: Badamy problem Dirichleta dla równań półliniowych na zbiorach otwartych
z miarą po prawej stronie i nieregularnymi danymi brzegowo-zewnętrznymi.
Obejmujemy w ujednoliconej formie równania z operatorami należącymi
do szerokiej klasy samosprzężonych operatorów całkowo-różniczkowych związanych z
symetrycznymi regularnymi formami Dirichleta.
W tym celu rozszerzamy klasyczną metodę rzutowania ortogonalnego w oparciu o
probabilistyczną teorię potencjału.Celem wykładu jest podanie dobrej definicji rozwiązania (jednoznaczność i stabilność), omówienie zaproponowanej definicji i jej związków z innymi istniejącymi podejściami oraz sformułowanie twierdzeń o istnieniu i regularności rozwiązań.
W wystąpieniu będę omawiał wyniki pracy:
Klimsiak, T., Rozkosz, A.: Dirichlet problem for semilinear partial integro-differential equations: the method of orthogonal projection. arXiv:2304.00393

13.15-14.45 Zbigniew Palmowskl (PWr), Stany stacjonarne i czasy wyjścia dla procesów L\'evy'ego z częściowym resetowaniem (wystąpienie online)

Abstrakt: W referacie będziemy rozważać d-wymiarowy proces X, który powstaje
z procesu L\'evy'ego Y poprzez częściowe resetowanie. Proces X ewoluuje pomiędzy momentami resetowania tak jak proces Y zaś w Poissonowskich momentach resetowania pozycja procesu X jest mnożona przez stałą c\in (0,1). Szczególna uwaga zostanie położona na \alpha-stabilny process Y. Dla procesu X uzyskamy szeregową reprezentację gęstości prawdopodobieństwa przejścia oraz zbadamy jej czaso-przestrzenną asymptotykę.Zanalizujemy także ergodyczność tego procesu oraz znajdziemy momenty miary stacjonarnej. Dla przypadku zdegenerowanego kiedy Y_t=t znajdziemy rozwiązanie problemów wyjścia. Na koniec przedyskutujemy różnorodne uogólnienia.
15.10.24 seminar in a hybrid form in the room 405,
11.30-13.00 Jacek Jakubowski, O rozkładach czasu lokalnego dyfuzji Ito-McKean'a
Abstrakt: Niech $L$ oznacza czas lokalny w $0$ dyfuzji It\^o-McKeana $X$. Przedstawię różne wyniki dotyczące rozkładu czasu lokalnego. Między innymi podam opis rozkładu $L_t$, dla ustalonego $t$, w terminach exponenty konwolucyjnej funkcji przejścia $X$ i funkcji Bessela. Podam także gęstość przejścia pary $(X,L)$. Referat będzie oparty na pracachwspólnych z M. Wiśniewolskim (ukazały sie w Bernoulli).
13.15-14.45 Tomasz Komorowski, : Od równania falowego do (ułamkowego) równania ciepła. Granice skalowania dla funkcjonału energii, rozwiązania stochastycznego równania falowego na kracie z warunkami brzegowymi.
Abstrakt: W moim wystąpieniu omówię ostatnio otrzymane wyniki dotyczące granic skalowania funkcjonału energii dla jednowymiarowego łańcucha $N$ oscylatorów harmonicznych z szumem, gdy $N$ dąży do nieskończoności. Równanie ewolucji łańcucha jest stochastycznym równaniem falowym na odcinku kraty całkowitoliczbowej z zadanymi warunkami brzegowymi. Granice funkcjonału energii opisują rozkład temperatury na jednowymiarowym ograniczonym odcinku w continuum. Zależą one od tego jakie wielkości związane z deterministyczną częścią równania są także zachowywane przez szum oraz ewolucji na brzegu. W pewnych przypadkach otrzymane równanie graniczne jest ułamkowym równaniem ciepła z warunkiem brzegowym odpowiadającym zadanym temperaturom na końcach odcinka. Omawiane wyniki powstały we współpracy z J.L.L. Lebowitzem (Rutgers Univ.), S. Olla (Univ. Paris-Dauphine), M. Simon (Univ. Lyon).
4.06.2024 seminar in a hybrid form in the room 405 this time organized by prof. B. Zegarliński
11.30-13.00 Agnieszka Kałamajska (MIMUW) "Strongly nonlinear multiplicative inequalities with elliptic operators"

Abstract: We will discuss certain variant of strongly nonlinear inequality of
multiplicative type, which involves the elliptic operator $P$ and its first order
derivationes and can be considered as the nonlinear variant of the
Gagliardo-Nirenberg interpolation inequality between derivatives.
We will present some applications of such inequalities to the
existence regularity theory for the nonlinear PDE’s of elliptic type,
its relations with the coercive inequalities, and focus on certain
related open problems in the theory of function spaces.
The talk will be based on the the chain of my joint works obtained
together with Katarzyna Pietruska-Pa\l{}uba, Jan Peszek, Katarzyna
Mazowiecka, Tomasz Choczewski, Alberto Fiorenza and Claudia Capogne,
Tomas Roskovec and Dalmil Pesa.

13:15-14.45 Katarzyna Pietruska-Pałuba (MIMUW), "Inequalities and identities related to jump-Levy processes (and their generators)"

Nierówności i tożsamości związane ze skokowymi procesami Levy'ego (i ich generatorami)
Abstract: We shall present recent identities and inequalities related to
jump Levy processes, such as the Douglas identity, the Hardy-Stein
identity, optimal Hardy inequalities (for stable processes). We will
then show some applications: e.g. to trace and extension theorems for
nonlocal operators, estimates for Schroedinger semigroups for fractional
Laplacian with Hardy-type potential/

Abstrakt: Omówimy uzyskane w ostatnich latach nierówności i tożsamości
związane ze skokowymi procesami
Levy'ego, takie jak tożsamość Douglasa, tożsamość Hardy'ego-Steina,
optymalna nierówność Hardy'ego dla procesów stabilnych.
Następnie pokażemy ich zastosowania, np. do twierdzeń o rozszerzaniu i
śladzie dla operatorów nielokalnych,
oszacowań dla półgrup Schroedingerowskich dla ułamkowego laplasjanu z
potencjałem typu Hardy'ego.
Przedstawione wyniki powstały we współpracy m.in. z: Krzysztofem
Bogdanem, Michałem Gutowskim, Tomaszem Grzywnym, Tomaszem Jakubowskim,
Julią Lenczewską, Arturem Rutkowskim.
The results were obtained in cooperation with Krzysztof Bogdan, Michał
Gutowski, Tomasz Grzywny, Tomasz Jakubowski, Julia Lenczewska, Artur
Rutkowski and others.

23.04.2024, seminar in hybrid form in the room 405
11.30-13.00 Ryszard Rudnicki (IMPAN), Niemarkowskie modele cyklu komórkowego i statusu immunologicznego.

Abstrakt: Zaczniemy od pokazania, że pewne ważne zagadnienia biologiczne prowadzą do modeli, które nie spełniają "własności Markowa",

własność Markowa rozumiana jest tu w szerszym sensie i nie musi dotyczyć tylko procesów stochastycznych.

Wyjściowe model biologiczne dotyczą cyklu komórkowego [1] oraz odporności immunologicznej [2]. Są to szczególne przypadki dość ogólnego modelu strukturalnego, w którym cechy pojedynczych osobników zmieniają się w czasie zgodnie z pewnym procesem

(deterministycznym lub stochastycznym), aż do momentu krytycznego (na przykład: śmierci lub reprodukcji). Odstęp między momentami krytycznymi określony za pomocą

zmiennej losowej, której rozkład zależy od początkowego stanu osobnika. Gdy moment krytyczny minie, stan modelu zmienia się zgodnie z pewnym prawem, które zależy od stanu w momencie krytycznym.

Niestety, ewolucja czasowa tego modelu nie jest opisana bezpośrednio za pomocą procesu Markowa lub równania różniczkowego. Jednym z głównych zagadnień jest pokazanie, jak zastąpić ten model nowym, który może być badany za pomocą półgrupę operatorów i jak badać jego asymptotyczne zachowanie.

[1] K. Pichór, R.R., Cell cycle length and long-time behaviour of an age-size model, Math. Methods Appl. Sci. 2022.

[2] K. Pichór, R.R., Asymptotic properties of a general model of immune status, SIAM J.Appl.Math. 2023.

13.15-14.45 Tomasz Rychlik (IMPAN), Uogólnione statystyki pozycyjne: warunki skończoności momentów i ich oszacowania

Abstrakt: Zostanie omówione pojęcie uogólnionych statystyk pozycyjnych.Jest to semiparametryczny model uporządkowanych zmiennych losowych zdefiniowanych za pomocą jednowymiarowej tzw. bazowej dystrybuanty i wektora (lub ciągu) dodatnich parametrów. Dla dowolnie ustalonych parametrów modelu zostaną podane warunki konieczne i dostateczne na rząd momentu gwarantujący skończoność tego momentu dla wszystkich bazowych rozkładów skupionych na dodatniej półosi ze skończoną wartością oczekiwaną. Przy tych warunkach zostaną podane optymalne górne oszacowania momentów wyrażonych w jednostkach odpowiednich potęg średniej rozkładu bazowego.

26.03.2024, seminar in a hybrid form in the room 405
11.30-13.00 D. Tarłowski (UJ), O wykładniczym tempie zbieżności zmiennych losowych
Abstrakt: Omówię zależności pomiędzy podstawowymi rodzajami wykładniczej zbieżności zmiennych losowych. Podam przykłady zastosowania z optymalizacji i sterowania

13.15-14.45 Ł. Stettner (IMPAN), Asymptotyka wartości oczekiwanej od funkcji użyteczności od addytywnego funkcjonału
Abstrakt: W pracy pokazane jest, że dla szerokiej klasy funkcji użyteczności wybór optymalnej strategii sprowadza się do wyboru strategii markowskiej odpowiadającej eksponencjalnej funkcji użyteczności. Wynik ten jest związany z tkz. certainty equivalent control dla różnych funkcji użyteczności. Uogólnia on wcześniejszy wynik R. Cavazos-Cadeny i D. Hernandeza-Hernandeza i wykorzystuje wyniki autora dotyczące sterowania wrażliwego na ryzyko na nieskończonym horyzoncie czasowym. Praca została wydrukowana w Systems & Control Letters w końcu roku 2023.

30.01.2024, the seminar in a hybrid form in the room 405
11.30-13.00 Miklos Rasonyi (Renyi Institutute HAS), Optimal investment in markets with transaction costs for behavioural investors

Abstract:

We investigate how the existence of optimal portfolios can be

established for investors with behavioural preferences. As the latter

involve probability distortion functions and fail to be convex, the

usual compactness substitutes based on convex combinations cannot be

used. One has to work with weak convergence instead. However, this leads

to the appearance of randomized strategies which, indeed, enhance

performance. We survey available results in the context of markets with

proportional transaction costs and discuss open problems. Based on joint

work with Ngoc Huy Chau (Manchester University).

13.15-14.45 Rafał Meller (IMPAN, UW), Estimating positive processes

Abstract:
Recently, the Talagrand conjecture regarding selector processes has been
proved: work by Pham and Park. This conjecture concerned the characterization
of the expected value of the process supremum in terms of the existence of an
appropriate small coverage of a random event describing the process supremum
exceeding a multiple of its mean. Together with Witold Bednorz and Rafał Martynek,
we developed a clear proof of this result and then dealt with its
generalizations. The most important extension for us was to find an analogous
characterization of the expected value for positive canonical processes. It
turns out that such a characterization exists under mild concentration assumption.

28.11.2023, the seminar in a hybrid form in the room 405
11.30 -13.00 T. Klimsiak, Rozwiązania uogólnione półliniowych równań eliptycznychz miarami ograniczonymi - w kierunku rozwiązania problemu Brezisa

Abstrakt:

Niech D, będzie otwartym i ograniczonym podzbiorem d-wymiarowej przestrzeni

euklidesowej, ß będzie ograniczoną miarą borelowską na D oraz g będzie funkcją

niemalejącą na prostej rzeczywistej. W 1975 roku Benilan i Brezis odkryli, że przy

powyższych założeniach może nie istnieć rozwiązanie problemu:

(E) -∆u+g(u)=ß w D,

nawet jeśli ograniczymy się do funkcji g z co najwyżej wielomianowym wzrostem.

Okazuje się, że jeśli ß jest powyżej pewnego poziomu koncentracji

(określonego przez pojemność newtonowską) wówczas badanie równania (E)

staje się wysoce nietrywialne. Z drugiej strony, w wielu interesujących modelach

naturalnie pojawiają się równania typu (E) z wielomianową lub wykładniczą absorpcją

g i silnie skoncentrowaną miarą ß, np. miarą Diraca. Brezis, Marcus i Ponce postawili

następujący naturalny problem. Rozważmy ciąg funkcji (u_n) składający się z rozwiązań

problemu (E) z ß zastąpionym przez ß_n, gdzie (ß_n) jest standardowym splotowym wygładzeniem

miary ß. Co można powiedzieć o zbieżności ciągu (u_n) i, w przypadku zbieżności, o postaci

równania spełnianego przez funkcję graniczną? Oczywiście nie może to być (E), ponieważ

w ogólności nie istnieje rozwiązanie (E). Z drugiej strony z nierówności Stampacchii oraz twierdzenia

Rellicha-Kondraszowa, (u_n) jest zbieżny na podciągu. Okazuje się, że jest to trudny problem

i po dziś dzień pozostaje on otwarty.

W referacie opowiem o najnowszych wynikach, które udało mi się osiągnąć w tym temacie.

13.15-14.45 T. Szarek, ,,Zasada lokalnego zwężania dla losowych nieróżnowartościowych odwzorowań odcinka”

Abstrakt:

Wprowadzimy warunek dla losowych odwzorowań odcinka (tzw. \mu-iniekcyjność) i pokażemy, korzystając z pewnych technik wypracowanych przez A. Avila i M. Viana,

że losowe złożenia są prawie na pewno lokalnie zwężające w szerokiej klasie odwzorowań. W szczególności odwzorowania te nie będą musiały być gładkie. Podamy zastosowania tego wyniku do badania ergodyczności i twierdzeń granicznych losowych układów dynamicznych. (Wspólna praca z S. Brofferio (Paryż) i H. Oppelmayer (Insbruck)).

Title: Local contraction principle for random noninvertible maps on an interval

Abstract:

We introduce the condition (the so called \mu-injectivity) for random maps of the interval and prove, making use of some techniques developed by A. Avila and M. Viana, that random compositions are a.s. locally contractive.

The assumptions on maps will be rather weak, in particular non-smoothness is required. We give some possible applications to unique ergodicity and limit theorems. (This is my joint paper with S. Brofferio (Paris) and H. Oppelmayer (Insbruck)).

24.10.2023, the seminar in a hybrid form in the room 405

11.30-13.00 B. Zegarliński, "Higher order coercive inequalities and probabilistic applications"

Abstract: I will discuss coercive inequalities of higher order, of various types (Poincare, log-Sobolev, Orlicz-Sobolev,...,) and explain how one can get some useful applications for estimating probabilities and studying Markov semigroups and non-Markovian problems.

13.15-14.45 T. Komorowski, Homogenization of a certain class of It\^{o}-L\'{e}vy processes with stationary and ergodic coefficients (talk based on the joint paper with T. Klimsiak and L. Marino)
Abstract: In our talk we consider the problem of homogenization of the
solutions of It\^o-L\'{e}vy type stochastic differential equations
\begin{equation}
\label{beq0}
\begin{split}
&X^x(t;\omega ) \, = \, x+\int_0^t\int_{{\mathbb R}^d}
\gamma\left(X^x(s-;\omega ),z;\omega \right)\, \tilde{N}(ds,dz)\\
& +\int_0^t \sigma\left(X^x(s-;\omega );\omega \right)\, dB(s),
\end{split}
\end{equation}
where $\gamma:{\mathbb R}^d\times{\mathbb R}^d\times \Omega \to{\mathbb R}^d$, $\sigma:
{\mathbb R}^{d}\times \Omega\to {\mathbb R}^{d\times d}$ are sufficiently regular
random fields defined over a probability space $(\Omega,{\cal F},\mu)$. Here $\tilde{N}(dt,dz)=N(dt,dz)-\nu(dz)dt$, where $B(t)$ and $N(dt,dz)$ are a $d$-dimensional, standard Brownian motion and a random Poisson measure with the spatial intensity $\nu(dz)$, that are independent of each other and also independent of the fields $\gamma(x,z;\omega ) $ and $\sigma(x;\omega )$.
We prove the existence of the limits of the laws of
scaled processes $\varepsilon X^x(t\varepsilon^{-\alpha};\omega )$, as $\varepsilon\to0+$, with an appropriate choice of the exponent $\alpha>0$.
We shall distinguish two cases: first, when the random variable
$\int_{{\mathbb R}^d} |\gamma(0,z;\omega )|^2\, \nu(dz)$ is $L^p$ integrable, with
a sufficiently large $p$.
Then, under the diffusive scaling ($\alpha=2$) the processes $\varepsilon
X^x(t\varepsilon^{-2};\omega )$ converge in law, as $\varepsilon\to0+$, to a Brownian
motion.
Our second result concerns the case when the sizes of the jumps are so
large that $\int_{{\mathbb R}^d} |\gamma(0,z;\omega )|^2\,\nu(dz)=+\infty$ a.s. Then, under some assumptions about the field $\gamma(0,z;\omega )$ and a suitable choice of the exponent $\alpha\in(0,2) $, the scaled processes $\varepsilon
X^x(t\varepsilon^{-\alpha};\omega )$ converge to some Levy process.To prove the results we formulate an extension of the Alexandrov-Bakelman-Pucci estimates
in the case of non-local operators. This result is of independent interest. }

25.04.2023, the seminar in a hybrid form in the room 405
11.30-13.00 Dawid Tarłowski (UJ), "On asymptotic convergence rate (ACR) of discrete time optimization processes

Abstract: Let f:A -> R be a bounded continuous function with global minimum f(a)=0 and let X_t:Omega-> A be a discrete time stochastic process which converges in probability to a. Asymptotic convergence rate (ACR) is a measure of convergence rate given by ACR=limsup_t (E[f(X_t)] )^(1/t), where E[.] denotes the expected value. Equivalently: log(ACR)=limsup_t (1/t) * log(E[f(X_t)]) . We will talk about ACR in finite-dimensional case (A is a subset of R^d). The motivation behind presented results is convergence of evolutionary algorithms.

13.15-14.45 Łukasz Kruk (UMCS), "Fluid limits for queues with SRPT and LRTF service protocols".

Abstract: A single server queue with renewal arrivals and i.i.d. service times will be considered. Two service disciplines will be discussed.
Under the Shortest Remaining Processing Time (SRPT), the server gives preemptive priority to the job which can be completed first. In contrast, the server working under the Longest Remaining Time First (LRTF) policy assigns preemptive priority to the job with the longest remaining processing time. Both SRPT and LRTF are examples of so-called size-based service disciplines, analyzed in the operations research and computer science literature. In a queuing system of this kind, information about the remaining service time of each task needs to be stored. Accordingly, it is convenient to model the evolution of such a queue using measure-valued state descriptors.
In this talk, I will focus on fluid (i.e., functional law of large numbers) limits for the evolution of the systems described above. After reviewing the results of Down, Gromoll and Puha (2009) on fluid models and fluid limits for a single SRPT queue, I will discuss their counterparts for a multiple-input single server SRPT queue with K customer classes (joint work with Ewa Sokołowska). I will also present analogous results for a single queue under the LRTF service policy.

28.03.2023, the seminar in a hybrid form in the room 405

11.30-13.00 dr Hanna Wojewódka-Ściążko ( Institute of Theoretical and Applied Informatics, Polish Academy of Sciences and Institute of Mathematics, University of Silesia), "When asymptotically stable Markov semigroups have the e-property?"

Abstract: During the talk I will describe the relationship between e-property and asymptotic stability of Markov semigroups. In particular, I will show that every stochastically continuous and asymptotically stable Markov-Feller semigroup with an invariant measure such that the interior of its support is non-empty satisfies the e-property. Moreover, I will show that any Markov-Feller semigroup, which is stochastically continuous, and which possesses the eventual e-property, has the e-property as well. An example pointing out that such an implication does not have to hold without assuming stochastic continuity will be presented as well.
My talk will be based on the following two recent results:

[1] R. Kukulski, H. Wojewódka-Ściążko, The e-property of asymptotically stable Markov semigroups, arXiv:2211.16424v1 [math.PR] (2022).

[2] R. Kukulski, H. Wojewódka-Ściążko, The e-property of asymptotically stable Markov–Feller operators, Colloquium Mathematicum 165 (2021) , 269-283.

13,15-14.45 dr Rafał Meller (IMPAN and MIMUW), "Bounds for positive stochastic processes part II"

Abstract: I will talk about the joint work carried out in cooperation with Witold Bednorz and Rafał Martynek on the problem of estimating positive stochastic processes. First we will show how one may deduce the bound on suprema of infinitely divisible processes and i.i.d empirical process using the result for the selector process. We will also consider the non symmetric case. This is the continuation of the previous talk given by W. Bednorz (MIMUW) supplemented with newly obtained results.

31.01.2023, the seminar in a hybrid form in the room 405

11.30 -13.00, K. Pietruska Pałuba (MIMUW), Asymptotic behaviour of functionals in the Parabolic Anderson Model driven by nonlocal operators

Abstract: We consider the random Schroedinger operator H=L+V, where L is the generator
of a jump Markov process, and V is a random potential. We study the large-time
behaviour of the solutions of the parabolic problem for H, both annealed
(averaged with respect to the potential) and quenched (alsmost-sure with respect
to the potential). The asymptotics we obtained typically do not coincide.
This is joint work with Kamil Kaleta (Politechnika Wrocławska).

13.15-14.45, W. Bednorz (MIMUW), Bounds for positive stochastic processes,

Abstract: I will talk about the joint work carried out in cooperation
with Rafał Martynek and Rafał Meller on the problem of estimating positive
stochastic processes. In particular, this applies to the hypothesis of
the existence of p-small sets formulated by Talagrand in the context of
selector processes and its generalization to empirical and infinitely
divisible processes. Our work contains a much simpler proof and some
extensions of the result of the Park - Pham team, which gave the first
combinatorial solution of the Talagrand's conjecture. At the heart of
the approach is the idea of fragment previously used to show the
"sunflower lemma" and the "Khan-Kalai hypothesis". The obtained results
are a breakthrough in the analysis of positive processes, for which
there are no good tools to study the properties of sample paths - in the
case discussed by us - the mean value of the supremum over the index
set.

13.12.2022, seminar in a hybrid form in the room 405 (notice the temporary change)

11.30-13.00 T. Komorowski (IMPAN), "Asymptotics of the endpoint of a directed polymer"

Abstract: We discuss the asymptotics of the fluctuations of the endpoint of a directed $1+1$ dimensional polymer in a random

environment, as the polymer length grows to infinity. We contrast the situation of a spatially periodic environment, with the free

space case. We prove a central limit theorem in the first case, while in the second we recover the result of Balazs-Quastel -Seppalainen on

the super-diffusive behavior of the endpoint, i.e. that the variance of the position of the endpoint is of order $t^{4/3}$, where $t$ is

the length of the polymer. Our proof of the latter result is based entirely on stochastic analysis and simplifies the original argument

of Balazs-Quastel -Seppalainen that used a discrete approximation through an exclusion process and the second class particle.

13.15-14.45 T. Klimsiak (IMPAN), ASYMPTOTICS FOR DEGENERATE LOGISTIC EQUATIONS WITH DIRICHLET FRACTIONAL LAPLACIAN

Abstract: Let D ⊂ Rd (d ≥ 2) be a bounded Lipschitz domain, b ∈ Bb(D) be non-negative and non-trivial, a > 0 and p > 1. We study the the following non-linear equation
−∆αu = au − bup, in D,
u = 0, in Dc,
u > 0 on D
(1)
where α ∈ (0, 1), and ∆α is the fractional Laplacian. The operator ∆α represents non- local character of dispersal strategy of animals. This type of
dispersal strategy based on Lévy flights has been observed in nature (see, e.g., [3]).
We address the following problems:
(i) The existence and uniqueness problem for (1).
(ii) Let up,a be a solution to (1). What is the limit of (up,a) when p → ∞?
(iii) What kind of equation solves u∞,a (whenever it exists)?
(iv) Do we have uniqueness property for the limit equation?
(v) What do we know about supx∈D u∞,a(x)?
These problems have been investigated for the first time by Boccardo and Murat [1] (problems (i)–(iii)), with Leray-Lions type operator and with a = 0, b = 1. Then the problems have been studied, with general a, b and with the Laplace operator, by Dancer, Y. Du, L. Ma [4] (problems (i)–(iii)), by Dancer and Y. Du [2] (problem (iv)) and Rodrigues and Tavares [6] (problems (i)–(iii)).
We provide a complete answer to problems (i)–(iv) and some estimates on the supremum appearing in (v). We also discuss behavior of u∞,a with respect to parameter a and asymptotic stability of solutions.
Problems (i)-(iv) have never been studied in the literature for non-local Lévy type operators. To tackle the problems, we propose a new method based on
probabilistic potential theory.
The talk is based on the paper [5].
References
[1] L. Boccardo, F. Murat, Increase of power leads to bilateral problems, Composite Media and Homog-
enization Theory, G. Dal Maso and G. F. Dell’Antonio (eds.), World Scientific, Singapore, 1995, 113–123.
[2] E. N. Dancer, Y. Du, A uniqueness theorem for a free boundary problem. Proc. Amer. Math. Soc.
134 (2006) 3223–3230.
[3] N.E. Humphries et al., Environmental context explains Lévy and Brownian movement patterns of
marine predators. Nature 465 (2010) 1066–1069.
[4] E. N. Dancer, Y. Du, L. Ma, Asymptotic behavior of positivesolutions of some elliptic problems.
Pacific J. Math. 210 (2003) 215–228.
[5] T. Klimsiak, Asymptotics for logistic-type equations with Dirichlet fractional Laplace operator. To
appear in Adv. Differential Equations.
[6] J.F. Rodrigues, H. Tavares, Increasing Powers in a Degenerate Parabolic Logistic Equation. Chin.
Ann. Math. 34B (2013) 277–294

29.11.2022, seminar in a hybrid form in the room 405 (notice the temporary change)
11.30-13.00 Lukasz Stettner (IMPAN), Long run stochastic control problems with general discounting

Abstract: In the talk stochastic control problems are considered over infinite time horizon assuming general discounting (in contradiction to the usually studied problems with constant discounting). In particular average reward per discounted unit time functional is studied and is compared to usual average reward per unit time problem. Similarly risk sensitive functionals are studied together with their asymptotics. For this part certain large deviation results of weighted empirical measures are obtained.

13.15-14.45 Lorenzo Marino, (IMPAN), The universality of the constants in Schauder and Sobolev estimates via a Poisson perturbative approach

Abstract: We are interested here in the effects of a second order perturbation on diffusive Ornstein-Uhlenbeck operators with time-dependent coefficients on Rd. In particular, we show that the constants appearing in some well-known estimates for the Cauchy problem involving these operators, such as the Schauder or Sobolev ones, are actually independent from the intensity of the diffusive matrix and the space dimension.The method of proof relies on a stochastic perturbative technique based on suitable Poisson processes in order to construct solutions for the multi-dimensional equation with time-dependent coefficients from the solution of the one-dimensional heat equation, without modifying the constants in the underlying estimates. The talk is based on two papers written by N. Krylov (Minnesota) and E. Priola (Pavia) in the non-degenerate setting and by myself, S. Menozzi (Evry) and E. Priola (Pavia) in the hypoelliptic (degenerate) framework.

25.10.2022, seminar in a hybrid form
11.30-13.00, Tomasz Szarek (IMPAN, PG), Unique ergodicity for noninvertible function systems on an interval
Abstract: Random iteration of noninvertible functions on an interval will be considered. We are aimed at proving unique ergodicity in this setting. Until now this fundamental question was studied for homeomorphisms only. We are going provide a sufficient condition for the existence of a unique invariant measure valid for more general systems. This is a joint work with S. Brofferio (Paris) and H. Oppelmayer (Insbruck)

13.15-14.45, Damian Jelito (IMPAN, UJ), "On some risk-sensitive stochastic control problems"

Abstract: We present some recent results on the risk-sensitive control problems with the particular emphasis on the optimal stopping and impulse control frameworks. Using purely probabilistic arguments, we discuss the existence and uniqueness of solutions to the associated Bellman equations and we characterise optimal strategies for a wide class of Feller-Markov processes. Also, we obtain numerous results related to the approximation of the original problems by their simplified versions. The talk is based on the series of papers written together with Łukasz Stettner (IM PAS) and Marcin Pitera (UJ).

12.04.2022, seminar online, the invitations sends the organizer
12.15-14.00 Krzysztof Bogdan, Wrocław University of Science and Technology "Self-similar solution for Hardy operator"

Abstract:
We will discuss the large-time asymptotics of solutions to the heat equation for the fractional Laplacian with added subcritical or even critical Hardy-type potential. The asymptotics is governed by a self-similar solution of the equation, obtained as a normalized limit at the origin of the kernel of the corresponding Feynman-Kac semigroup. Interestingly, an Ornstein-Uhlenbeck semigroup turns out to be an important tool for the analysis. The paper is on arXiv at https://arxiv.org/abs/2203.02039 and is joint with Panki Kim (Seoul), Tomasz Jakubowski (Wrocław), and Dominika Pilarczyk (Wrocław).

Polish version

Krzysztof Bogdan, Politechnika Wrocławska
Samopodobne rozwiązanie dla operatora Hardy

Omówimy asymptotykę (w długim czasie) rozwiązań równania ciepła dla ułamkowego Laplace'a z dodanym podkrytycznym lub nawet krytycznym potencjałem typu Hardy'ego. Asymptotyka jest wyrażona przez samopodobne rozwiązanie odpowiedniego równania ciepła, otrzymane jako unormowana granica w zerze (w przestrzeni) jądra odpowiedniej półgrupy Feynmana-Kaca. Co ciekawe, ważnym narzędziem analizy okazuje się pewna półgrupa Ornsteina-Uhlenbecka. Artykuł jest na arXiv pod adresem https://arxiv.org/abs/2203.02039 i jest pracą wspólną z Panki Kim (Seul), Tomaszem Jakubowskim (Wrocław) i Dominiką Pilarczyk (Wrocław).

22.03.2022, seminar online, the invitations (links) sends the organizer
12.15-14.00 Tomasz Komorowski (IMPAN), "Fluctuations of the solutions to KPZ equation on the large dimenional torus"

Abstrakt: Równanie KPZ (Kardar-Parisi-Zhang) pełni ważną rolę w fizyce statystycznej jako obiekt interpolujący między klasami uniwersalności Edwardsa-Wilkinsona, do której należą modele matematyczne, których dyfuzyjne granice skalowania mają charakter gaussowski, oraz klasą KPZ (Kardar-Parisi-Zhanga), w której leżą granice modeli o skalowaniu superdyfuzyjnym (np opisane przez rozkłady Tracy-Widoma). Ponadto równanie to gra też ważną rolę w teorii polimerów w ośrodkach losowych.

W pierwszej części wystąpienia omówię zagadnienie fluktuacji rozwiązań równania KPZ na torusie o ustalonym rozmiarze, zarówno w przypadku wymiaru przestrzennego d\ge 1 i szumu gładkiego w przestrzeni, jak też wymiaru d=1 i białego szumu po czasie i przestrzeni. Pokażę, że w tym przypadku fluktuacje mają charakter gaussowski w asymptotyce długich czasów.

Druga część mojego wystąpienia będzie poświęcona zagadnieniu oszacowania wariancji rozwiązania równania KPZ startującego z rozkładu niezmienniczego w wymiarze 1 z 1+1 białym szumem. W tym przypadku zakładać będziemy, iż zarówno czas t jak też rozmiar torusa L są duże. Podam optymalne oszacowania wariancji gdy L dąży do nieskończoności zarówno w tak zwanym reżimie superrelaksacyjnym, t.j. gdy L\sim t^{\alpha} oraz 0<\alpha<2/3, jak też relaksacyjnym, gdy \alpha=2/3, oraz sformułuję pewne przypuszczenia dla reżimu sub-relaksacyjnego, gdy \alpha>2/3. Uzyskane wyniki powstały we współpracy z Y. Gu (Univ. of Maryland) oraz A. Dunlapem (Courant Institute, NYU).

18.01.2022, seminar online, the invitations (links) sends the organizer
12.15-14, Tadeusz Kulczycki (Wroclaw University of Science and Technology),

"On weak solution of SDE driven by inhomogeneous singular L{\'e}vy noise".

Abstract: We study the stochastic differential equation

$dX_t = A_t(X_{t-}) \, dZ_t$, $ X_0 = x$,

where $Z_t = (Z_t^{(1)},\ldots,Z_t^{(d)})^T$ and for each $i \in \{1,\ldots,d\}$ $Z_t^{(i)}$ is a one-dimensional, symmetric $\alpha_i$-stable process, where $\alpha_i \in (0,2)$. Under appropriate conditions on $\alpha_1,\ldots,\alpha_d$ and on matrices $A_t$ we prove existence and uniqueness of the weak solution of the above SDE, which will be shown to be a time-inhomogeneous Markov process. We also provide a representation of the transition probability density of this process as a sum of explicitly given ‘principal part’, and a ‘residual part’ subject to a set of estimates showing that this part is negligible in a short time. The talk is based on a joint work with A. Kulik and M. Ryznar “On weak solution of SDE driven by inhomogeneous singular Lévy noise”, Trans. Amer. Math. Soc. (to appear).

21.12.21, seminar online, the invitations (links) sends the organizer

12.15-14, Zbigniew Palmowski (PWr), "Double continuation regions for American options under Poisson exercise opportunities"

Abstract:
We consider the Lévy model of the perpetual American call and put
options with a negative discount rate under Poisson observations.
Similar to the continuous observation case as in De Donno et al.
(2020), the stopping region that characterizes the optimal stopping
time is either a half-line or an interval. The objective of this paper
is to obtain explicit expressions of the stopping and continuation
regions and the value function, focusing on spectrally positive and
negative cases. To this end, we compute the identities related to the
first Poisson arrival time to an interval via the scale function and
then apply those identities to the computation of the optimal
strategies. We also discuss the convergence of the optimal solutions
to those in the continuous observation case as the rate of observation
increases to infinity. Numerical experiments are also provided.
This talk is based on the joint work with Kazutoshi Yamazaki and José
Luis Pérez.

30.11.21, seminar online, the invitations (links) sends the organizer

12.15-14.00 Maurycy Rzymowski (UMK), Reflected BSDEs with two optional barriers on Brownian filtration,

Abstract: Let B be a standard d-dimensional Brownian motion and F = fFtgt_0 be a standard augmentation

of the filtration generated by B.We present results on Reflected Backward Stochastic

Differential Equations (RBSDE for short) of the following form

$Y_t=\xi + \int_t^T f(r,Y_r,Z_r)dr + \int_r^T dR_r - \int_t^T Z_r dB_r$

$L_t\leq Y_t \leq U_t$, $t\in [0,T]$, $(Y,Z,R)\in Prog(F)$

$dr$ is „minimal”, $\int_0^T |z_r|^2 dr <\infy$

where $\xi$ (terminal time) is an $F_T$ -measurable random variable, mapping $f : \Omega \times [0; T] \times R \times R^d \to R$ (generator) is F-progressively measurable with respect to the first two variables and L;U

(barriers) are optional processes satisfying some separation condition.

It has been widely recognized that reflected BSDEs provide a useful framework for studying

problems in many fields, such as financial mathematics, stochastic optimal control and partial

differential equation (e.g. optimal stopping problem, Dynkin games, stopping and control games,

switching problem, PDEs with singular data, homogenization, boundary problems, regularity

problems, numerical schemes etc.).

The theory is well studied for c´adl´ag barriers L;U. However, there is only a few papers

concerning BSDEs with non-c`adl`ag barriers (see e.g. [1]–[6]). It is caused mostly by the following:

the main component of the solution, process Y , does not have to be a c`adl`ag process, the

minimality condition for dR (guaranteeing uniqueness) is complicated and unintuitive, and the

basic proof technique of c´adl´ag case, i.e. penalization method, does not apply to non-c´adl´ag case.

We will present the results on the existence and uniqueness of a solution to the problem (A).

We assume that generator f is only non-increasing and continuous with respect to y (without

any growth condition), satisfies Lipschitz condition on z and data are in Lp for some $ p \geq 1$.

We also present some results concerning methods of approximation of the solution via modified

penalization scheme, and present the link between solutions of RBSDEs with optional barriers

and the value processes for generalized nonlinear Dynkin games.

The results were obtained in cooperation with Tomasz Klimsiak and Leszek Słominski.

Bibliography

[1] Grigorova, M., Imkeller, P., Offen, E., Ouknine, Y., Quenez, Marie-Claire: Reflected BSDEs when the obstacle is

not right-continuous and optimal stopping. Ann. Appl. Probab. 27 (2017) 3153–3188.

[2] Grigorova, M., Imkeller, P., Ouknine, Y., Quenez, M.C.: Doubly Reflected BSDEs and Ef -Dynkin games: beyond

the right-continuous case. Electron. J. Probab. 23 (2018) Paper No. 122, 38 pp.

[3] Grigorova, M., Imkeller, P., Ouknine, Y., Quenez, M.C.: Optimal stopping with f–expectations: the irregular case.

Stochastic Process. Appl. 130 (3) (2020) 1258–1288.

[4] Klimsiak, T., Rzymowski, M., Słominski, L.: Reflected BSDEs with regulated trajectories. Stochastic Process Appl.

129 (2019) 1153–1184.

[5] Klimsiak, T., Rzymowski, M., Słominski, L.: Reflected backward stochastic differential equations with two optional

barriers. Bull. Sci. Math. 158 (2020) 102820, 49 pp.

[6] Klimsiak, T., Rzymowski, M.: Reflected BSDEs with optional barriers on filtered spaces. Electron. J. Probab. 26

(2021) no. 91, 1–24.

[7] Marzougue, M., El Otmani, M.: BSDEs with right upper-semicontinuous reflecting obstacle and stochastic Lipschitz

coefficient. Random Oper. Stoch. Equ. 27 (2019) 27–41.

26.10.2021, seminar in a stationary way in the room 106 starting at 11.30

11.30-13.00 Rafał Meller, "Two-sided bounds for moments of random quadratic forms with values in a Banach Space"
Abstract: Let S=XAX^T, where X is a random vector with independent coordinates and A is a matrix with coefficients from a Banach space. We want to give a "simple" formula that accurately approximates ||S||_p (p-th moment of S). We will present known results, including the case when X is the standard normal vector. We will also deal with the non-Gaussian case in which almost nothing is known.

and

13.15-14.45 Lorenzo Marino, Weak regularization by degenerate Lévy noise and its applications
Abstract: In this seminar, I will briefly present the arguments of my PhD thesis: "Weak regularization by degenerate Lévy noise and its applications". After a general introduction on the regularization by noises phenomena and the motivations behind thiswork, I will start by establishing the Schauder estimates, a useful analytical tool often linked with the weak well-posedness of SDEs, for two different classes of integro-differential equations whose coefficients lie in suitable anisotropic Hölder spaces with multi-indices of regularity. The first one focuses on dynamics with non-linear drift, controlled by an α-stable operator acting only on the first component. To deal with the non-linear perturbation, I will also present some subtle duality results on Besov spaces. As an extension of the first one, I will show the Schauder estimates associated with a degenerate Ornstein-Uhlenbeckoperator driven by a larger class of α-stable type operators, like the relativistic or Lamperti stable ones. The proof of this result relies instead on a precise analysis of the behaviour of the associated Markov semigroup between anisotropic Hölder spaces and some interpolation techniques. We will then move backto the stochastic framework. Exploiting a backward parametrix approach, I will finally prove the weak well-posedness of the associated degenerate chain of SDEs. As a by-product of our method, Krylov-type estimates on the canonical solution process are also presented. Moreover, I will show through suitablcounter-examples that there exists an (almost) sharp threshold for the regularity exponents that ensure the weak well-posedness for the SDE. Time permitting, I will conclude with an application of the previous results for a class of degenerate diffusive Ornstein-Uhlenbeck operators. In particular, we will see that the constants appearing in some well-known controls involving this type of operators, such as the Schauder orthe Sobolev estimates, are stable under perturbations of the diffusive matrix.

11.05.2021, seminarium od godz. 12.15 online (zaproszenia rozsyła prowadzący seminarium)

Tomasz Szarek (PG i IMPAN), Twierdzenia graniczne dla spacerów losowych na Homeo(S^1)

Abstrakt: W czasie wykładu zbadamy ergodyczne własnościłańcuchów Markowa generowanych przez spacery losowe na grupie homeomorfizmów okręgu - Home(S^1). Udowodnimy centralne twierdzenie graniczne i prawo iterowanego logarytmu dla łańcuchów startujących z dowolnego punktu okręgu. Wykład będzie zawierał wyniki ze wspólnej pracy z G. Łuczyńską.

20.04.2021, seminarium od godz. 12.15 online (zaproszenia rozsyła prowadzący seminarium)

Tomasz Klimsiak (IMPAN), "Lematy typu Hopfa dla podrozwiązań równań całkowo-różniczkowych"

Abstrakt: W referacie przedstawię wyniki uzyskane wspólnie z T. Komorowskim na temat uogólnień lematu Hopfa dla słabych podrozwiązań równań liniowych z operatorami całkowo-różniczkowymi typu Lévy'ego. Dokładniej dowodzimy, że jeżeli dla zadanego operatora Lévy'ego zachodzi mocna zasada maksimum oraz istnieje rozwiązanie związanego z nim problemu martyngałowego, to istnieje ściśle dodatnia funkcja borelowska (funkcja spodnia), zależna tylko od współczynników operatora oraz od dziedzinyktóra szacuje z dołu przyrosty podrozwiązań wokół punktów maksymalnych. Ponadto dowodzimy wersji ilościowej lematu Hopfa, w której stała w oszacowaniu jest wartością maksymalną podrozwiązania. Następnie, formułujemy warunek konieczny i dostateczny, wyrażony w języku własności ergodycznych rezolwenty, na to, aby funkcja spodnia była ściśle dodatnią funkcją własną operatora.

23.03.2021 seminarium od godz. 12.15 online (zaproszenia rozsyła prowadzący seminarium)

Mariusz Niewęgłowski (PW) "Wielowymiarowe procesy Hawkes'a i ich zgodności"

Abstrakt: Procesy Hawkes'a to procesy punktowe które znajdują bardzo szerokie zastosowanie od sejsmologii, po finanse, ubezpieczenia, modelowanie sieci społecznościowych a także rozwoju epidemii. Charakteryzują się one własnością samo-pobudzania (self-excitation) polegającą na tym, że warunkowe rozkłady czasów oczekiwania na kolejne zdarzenia zależą od historii procesu do momentu na który dokonujemy warunkowania.
W referacie przedstawię wielowymiarowe uogólnienia procesów Hawkes'a oraz opiszę ich konstrukcje która prowadzi natychmiastowo do algorytmu generowania trajektorii takich procesów. W dalszej części zajmę się zagadnieniami związanymi ze zgodnościami procesów Hawkes'a czyli pytaniami o warunki na to aby współrzędne wielowymiarowego procesu Hawkes'a były procesami Hawkesa.

26.01.2021 (uwaga zmiana terminu !) seminarium od godz. 12.15 online (zaproszenia rozsyła prowadzący seminarium)

Michał Kotowski (IMPAN, UW), "Macroscopic structures in random permutations and random loop models"

Abstract: I will give a brief introduction to the topic of random loop models, which includes random permutations coming from the interchange process (or random transpositions process) on various graphs. One of the motivations to study these models comes from statistical physics and the appearance of macroscopic loops corresponds to a phase transition in quantum Heisenberg ferromagnet or antiferromagnet. So far most of the known results are limited to graphs with rather simple geometry and the topic offers numerous open problems. Based on joint work with R. Adamczak, J. Björnberg, B. Lees, P. Miłoś.

15.12.2020 seminarium od godz. 12.15 online (zaproszenia rozsyła prowadzący seminarium)

Witold Świątkowski (IMPAN, UW), "Oszacowania ogonów rozkładu rozwiązań równania stochastycznego X=AX+B".

Abstrakt: Przyjrzymy się rozwiązaniom równania stochastycznego X=AX+B, gdzie A jest losową macierzą trójkątną, a B losowym wektorem. Celem będzie zbadanie asymptotycznego zachowania ogonów rozkładu współrzędnych wektora losowego X. Rozpocznę od krótkiego wprowadzenia i omówienia klasycznego wyniku Kestena. Następnie ograniczymy się do pewnej podklasy macierzy trójkątnych, dla których wyznaczę dokładne asymptotyki. Omówię również pozostałe przypadki, dla których znane wyniki są tylko częściowe. Wyniki uzyskane wspólnie z E. Damek (Wrocław) i M. Matsui (Nagoya).

17.11.2020 seminarium od godz. 12.15 online (zaproszenia rozsyła prowadzący seminarium)

Kamil Szpojankowski (PW), "Zastosowania kumulant Boolowskich w wolnej probabilistyce"

Abstrakt: Referat rozpocznę od krótkiego wprowadzenia do wolnej probabilistyki i omówienia związków oraz analogii pomiędzy klasycznym i niekomutatywnym rachunkiem prawdopodobieństwa. Skupię się na kombinatorycznych narzędziach wykorzystywanych w nieprzemiennej probabilistyce. Następnie przedstawię rozwiązanie problemu znajdowania rozkładu łącznego pary (AB,BA), dla wolnych zmiennych $A,B$ oraz jego zastosowanie do znajdowania rozkładu antykomutatora wolnych zmiennych losowych. Wyjaśnię dlaczego wygodnym narzędziem do rozwiązania tego problemu okazują się, pochodzące z równoległej, łatwiejszej teorii kumulanty Boolowskie, a nie kumulanty wolne, będące naturalnym narzędziem do studiowania wolnych zmiennych losowych. Wyniki wspólne z: M. Fevrier (Paryż), M. Mastnak (Halifax) i A. Nica (Waterloo).

20.10.2020 seminarium od godz. 12.15 online (zaproszenia rozsyła prowadzący seminarium)

Zbigniew Jurek (UWr), "Dystrybuanty kierujące rozkładami samorozkładalnymi (i o pewnej propozycji H. Steinhausa z 1938 roku)"

Jako zupełnie niezależną część wykładu przedstawiona będzie pewna propozycja niezależności zmiennych losowych ”rzucona” przez H.Steinhausa w 1938r (w HS Selected Papers(1985)jest to na stronie 506). Gdyby pojęcie to miało sens to...?

17.03.2020 seminarium od 11.30 do 14.45 Odwołane w związku z chorobą referenta, nowy termin będzie podany później

11.30-13.00 Zbigniew Jurek (UWr), "Dystrybuanty kierujące rozkładami samorozkładalnymi (i o pewnej propozycji H. Steinhausa z 1938 roku)"

Abstrakt: Klasa rozkładów samorozkładalnych(zmiennych losowych)definiowana jest jako rodzina wszystkich możliwych rozkładów otrzymanych z ciągów niezależnych zmiennych losowych. Jest ona wyjątkowo duża i zawiera wiele klasycznych rozkładów,między innymi ze statystyki matematycznej(chi-kwadrat,t-Studenta i inne). W wykładzie zostanie przedstawiony i zilustrowany na przykładach(rozkłady gamma, log-gamma)sposób znajdywania dystrybuanty kierującej zadaną samorozkładalną zmienną (BDDF=background driving distribution function).
Jako zupełnie niezależną część wykładu przedstawiona będzie pewna propozycja niezależności zmiennych losowych ”rzucona” przez H.Steinhausa w 1938r (w HS Selected Papers(1985)jest to na stronie 506). Gdyby pojęcie to miało sens to...?

13.15-14.45 Kamil Szpojankowski (PW), "Zastosowania kumulant Boolowskich w wolnej probabilistyce"

21.01.2020 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Jurij Kozicki (UMCS), Proces Markowa dla nieskończonego układu oddziałujących cząstek w przestrzeni ciągłej (wspólna praca z M. Röcknerem, Universität Bielefeld, Niemcy)

Abstrakt: Rozpatrujemy nieskończony układ cząstek punktowych w R^d, dokonujących losowych skoków ze wzajemnym odpychaniem. Stanami czystymi układu są lokalnie skończone podzbiory R^d, interpretowane też jako lokalnie skończone miary Radona. W przestrzeni takich stanów Γ wprowadzamy metrykę, z którą staje się ona przestrzenią polską. Odpowiednio, wprowadzamy przestrzeń D cadlag-ścieżek γ(t) na Γ, wyposażoną w topologię Skorohoda. Dla specjalnej klasy Q (pod-poissonowskich) miar probabilistycznych na Γ dowodzimy istnienia rodziny miar probabilistycznych na D – indeksowanych elementami Q – która jest jednoznacznym rozwiązaniem ograniczonego początkowego zagadnienia martyngałowego dla rozpatrywanego układu. Tym samym dowodzimy istnienia procesu Markowa, opisującego dynamikę stochastyczną tego układu.

13.15-14.45 Łukasz Stettner (IMPAN), Problemy sterowania impulsowego wrażliwego na ryzyko (wspólne prace z

dr M. Piterą i mgrem D. Jelito (UJ))

Abstrakt: Sterowanie impulsowe procesem Markowa z kryterium wrażliwym na ryzyko długiego horyzontu czasowego jest trudne wielu względów. Mamy multyplikatywny funkcjonał, który jest znacznie trudniejszy od addytywnego pojawiającego się w zagadnieniach średniego kosztu na jednostkę czasu. Należy pokazać istnienie rozwiązania odpowiedniego równania Bellmana a potem zweryfikować, że strategia generowana przez równanie Bellmana jest optymalna. Zagadnienie to sprowadza się do optymalnego stopowania z multyplikatywnym funkcjonałem, rozwiązanie którego co stanowi dodatkową trudność, zwłaszcza, że trzeba pokazać ciągłość funkcji wartości.

Główna metoda w prezentowanych pracach do aproksymacji problemu z czasem ciągłym czasem dyskretnym. W przypadku sterowania impulsowego korzystamy z wyników M. Pitery i Ł. Stettnera.

26.11.2019 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Tomasz Komorowski (IMPAN), Dyfuzyjna i superdyfuzyjna asymptotyka rozwiązań liniowego równania kinetycznego z interfejsem,

Abstrakt:
Rozważamy liniowe równanie kinetyczne w jednym wymiarze przestrzennym, ze zdegenerowanym jądrem operatora rozpraszania, oraz warunkiem odbicia-transmisji-absorpcji na punktowym interfejsie.
Tego typu równanie opisuje np makroskopową granicę gęstości energii dla harmonicznego łańcucha składającego się z oddziaływujących oscylatorów, którego dynamika zaburzona jest przez szum zachowujący energię i pęd oraz będącego w kontakcie z punktowym termostatem.
Omówię wyniki dotyczące asymptotyki rozwiązań tego typu równań kinetycznych dla odpowiedniego skalowania współrzędnych czasu i przestrzeni. W zależności od własności funkcji opisującej dryf, skalowanie to może być dyfuzyjne, lub też superdyfuzyjne. Stosowne granice rozwiązań spełniają: równanie ciepła (w przypadku skalowania dyfuzyjnego) z warunkiem brzegowym Dirichleta, lub też ułamkowe równanie ciepła z pewnym warunkiem brzegowym (w przypadku skalowania superdyfuzyjnego). Podstawową metodą użytą w dowodach uzyskanych wyników jest zastosowanie reprezentacji probabilistycznej dla rozwiązań tego typu równań oraz opis asymptotyki odpowiednich procesów stochastycznych. Zaprezentowane rezultaty uzyskane zostały we współpracy z G. Basile (Univ. Roma I), S. Olla (Univ. Paris-Dauphine) oraz L. Ryzhikiem (Stanford Univ.).

13.15-14.45 Tomasz Klimsiak (IMPAN), Mocna zasada maksimum dla operatorów Schrödingera z singularnym potencjałem

Abstrakt:

W wystąpieniu skupimy się na operatorach Schrödingera pochodzących od regularnych symetrycznych form Dirichleta z potencjałem będącym miarą gładką. Przedstawione będą wyniki dotyczące mocnej zasady maksimum dla wspomnianych operatorów. Ponadto podamy warunki konieczne i dostateczne na istnienie rozwiązań równań Schrödingera z ograniczoną miarą Radona po prawej stronie równania.

22.10.2019 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Alexei Kulik (PWr), Generalized Coupling Approach to Well-Posedness, Stability, and Sensitivities for Stochastic Delay Equations

Abstract:
The talk is based on a joint work with Michael Scheutzow (TU Berlin), arXiv:1808.06050. We develop a new generalized coupling approach to the study of stochastic delay equations with Hölder continuous coefficients, for which analytical PDE-based methods are not available. We prove that such equations possess unique weak solutions, and establish weak ergodic rates for the corresponding segment processes. We also prove, under additional smoothness assumptions on the coefficients, stabilization rates for the sensitivities in the initial value of the corresponding semigroups

13.15-14.45 Adam Paszkiewicz (UŁ), O trajektoriach dla złożeń warunkowych wartości oczekiwanych i dla złożeń projekcji w przestrzeniach Hilberta,
Abstrakt:
Twierdzenie Naymarka o dylatacjach daje proste, negatywne rozstrzygnięcie pytania Amemyiya-Ando czy ciąg x_n≔P_n… P_1 x musi zbiegać w normie dla x∈ H, P_1,P_2,… ∈{Q_1,…,Q_k }, dla ustalonych Q_1,…,Q_k∈ProjH, H – przestrzeń Hilberta. To pozwala badać ogół takich trajektorii (x_n ). Gdy H=L_2 (Ω,F,P), zaś Q_1,…,Q_k są warunkowymi wartościami oczekiwanymi względem atomowych σ-ciał A_1,…,A_k ∈ F, pojawiają się nowe ogólnie ważne lematy.

28.05.2019 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Tomasz Szarek (UG, IMPAN), INVARIANT MEASURES FOR RANDOM WALKS ON HOMEO+(R).
Abstract: Let {g_n} be a sequence of i.i.d. Homeo+(R)–valued random variables whose distribution is a measure µ. We consider the left random walk on Homeo+(R) deﬁned by the random variables f_n := g_n ◦···◦g_1. We study the Markov chain (X_n) on the real line corresponding to {g_n}, i.e. for any x ∈R and n ∈N we consider the random variables deﬁned by X^x_n := f_n(x). The main purpose of the talk is to provide suﬃcient conditions for the existence of a unique invariant Radon measure (mainly inﬁnite) for (X_n). This research generalizes the results obtained by Deroin, Kleptsyn, Navas and Parvani, who studied similar problems for groups of homeomorphisms. This is a joint paper with D. Buraczewski and S. Broﬀerio.
13.15-14.45 Piotr Gwiazda (IMPAN), Długookresowa asymptotyka dla równań populacji ze strukturą z danymi początkowymi w przestrzeni miar.
Abstrakt: W wystąpieniu moim zajmę się dowodzeniem zbieżności rozwiązań do tzw. "steady state solution" czyli rozwiązań w postaci:
$e^{\lambda_0 t}N(x) zadawanych przez dominującą wartość własną liniowej półgrupy. Omówię dwie metody: metodę relatywnych entropii [1,2] oraz metodę
spektralną [3]. Wyniki postaram się omówić w kontekście wcześniejszych badań z danymi początkowymi w przestrzeni L^1. W tym kontekście jako
wprowadzenie do tematyki relatywnych entropii godna polecenia jest monografia [4].

Bibliografia:
[1]Gwiazda, Piotr; Wiedemann, Emil, Generalized entropy method for the renewal equation with measure data. Commun. Math.
Sci. 15 (2017), no. 2, 577–586.
[2]Dębiec, Tomasz; Doumic, Marie; Gwiazda, Piotr; Wiedemann, Emil, Relative entropy method for measure solutions of the
growth-fragmentation equation. SIAM J. Math. Anal. 50 (2018), no. 6, 5811–5824.
[3]József Z. Farkas, Piotr Gwiazda, Anna Marciniak-Czochra, Asymptotic behaviour of a structured population model on a
space of measures arXiv:1902.06096
[4]B. Perthame.Transport Equations in Biology. Frontiers in Mathematics, Birkhäuser Basel, 2007.

18.12.2018 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Tadeusz Kulczycki (PWr), Mocna własność Fellera dla rozwiązania stochastycznego równania różniczkowego z szumem stabilnym.

Streszczenie: Rozważamy stochastyczne równanie różniczkowe
dX(t) = A(X(t-)) dZ(t),
gdzie Z(t) jest cylindrycznym procesem alfa-stabilnym w R^d, oraz A(x) sa macierzami kwadratowymi stopnia d. Przy pewnych założeniach na te macierze pokazujemy, ze półgrupa procesu (X(t)) ma mocną własność Fellera. Nasze podejście oparte jest na metodzie Leviego.

13.15-14.45 Jerzy Zabczyk (IMPAN), O równaniu CIR matematyki finansowej

Streszczenie:
Rozwiązania równania:

(1) dR(t)= (aR(t) + b)dt + √R(t) dW, R(0)=x ≥ 0 ,

opisują ewolucję stopy procentowej na rynku obligacji z tak zwaną struktura afiniczną bez możliwości arbitrażu. W równaniu (1), zwanym równaniem CIR, W jest procesem Wienera, a oraz b, to stałe, b≥0. Równanie zostało wyprowadzone w pracy, Cox, J., Ingersoll, J., Ross, S. (1985), „A theory of the term structure of interest rates”, Econometrica 53, 385-408, przy dodatkowym założeniu, ze R jest nieujemnym procesem Markowa z ciągłymi trajektoriami. W wykładzie wyprowadzimy odpowiednik równania CIR, bez założenia ciągłości trajektorii. Przypadek czasu dyskretnego będzie również dyskutowany. Wyniki uzyskane zostały wspólnie z M. Barskim.

27.11.2018 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Łukasz Kuciński (IMPAN), "Uczenie ze wzmocnieniem"
Abstrakt: Uczenie ze wzmocnieniem (ang. Reinforcement Learning, RL w skrócie) stanowi, obok uczenia pod nadzorem oraz uczenia bez nadzoru, jeden z filarów uczenia maszynowego. Od niedawna dziedzina RL przeżywa gwałtowny rozwój. Jest to związane z przełomowymi wynikami ostatnich lat, które umożliwiły trenowanie, bez jakiejkolwiek wiedzy a priori, agentów uzyskujących ponadludzkie wyniki w grach Atari, Go, szachach i Shogi czy Dota2. Celem wykładu jest szkicowe omówienie powyższych wyników oraz zaprezentowanie pokrótce głównych metod. Omówione zostaną także główne problemy i wyzwania RL a także obszary badań prowadzone w IMPAN.

13.15-14.45 Łukasz Stettner (IMPAN), "Liniowe sterowanie skalarne z wypukłymi funkcjonałami"
Abstrakt: Powszechnie znane są różne rezultaty dotyczące sterowania modelem liniowym (z różnymi szumami) z kwadratowymi funkcjonałami.
Okazuje się, że wiele wyników da się przenieść na sytuację gdy kwadratowe funkcjonały zastąpimy wypukłymi. W przypadku sterowania jednowymiarowego (skalarnego) można rozwiązać problemy ze średnim kosztem na jednostkę czasu i z funkcjonałem exponencjalnym. Przedstawione będą wyniki w czasie dyskretnym i pokazane będzie co da się przenieść na czas ciągły. Rezultaty powstały we współpracy z prof. T. Duncanem i prof. B. Pasik Duncan.

23.10.2018 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Piotr Miłoś (IM PAN i UW), Istnienie cykli makroskopowych w procesie wymiany na grafie Hamminga
Abstrakt: Omówię permutacje losowe pochodzące z procesu wymiany (ang. interchange process) na dwuwymiarowym grafie Hamminga i jego uogólnienia. Dowodzimy mianowicie istnienia przejścia fazowego - dla dostatecznich długich czasów w losowej permutacji w procesie wymiany istnieją cykle rozmiaru makroskopowego, podczas gdy dla krótkich czasów wszystkie cykle są krótkie. Wspólna praca z Radosławem Adamczakiem i Michałem Kotowskim.
13.15-14.45 Szymon Peszat (UJ i IMPAN), Istnienie potoku stochastycznego dla równań stochastycznych na nieskończenie wymiarowych przestrzeniach.
Abstrakt: Podam definicję potoku stochastycznego. Następnie pokażę jak dowodzi się istnienia potoku dla stochastycznych równań zwyczajnych. Pokażę klasyczne przykłady równań na nieskończenie wymiarowych przestrzeniach, dla których potok nie istnieje. Na koniec udowodnię istnienie potoku w pewnych szczególnych przepadkach.

17.04.2018 seminarium od 11.30 do 14.45

11:30-13.00, Stefano Olla, CEREMADE, Univ. Paris-Dauphine, Paris, Hydrodynamic limit for a harmonic chain with random masses

Abstract. We consider the hamiltonian dynamics of an unpinned chain of harmonic oscillators with random masses. Under a hyperbolic rescaling of space and time we obtain the full set of Euler equations for the macroscopic evolution of energy, momentum and volume stretch. This is in contrast with the deterministic masses case, where there is no autonomousmacroscopic evolution for the energy field if the system is not in thermal equilibrium. The dynamics is completely integrable, but Anderson localization, due to the randomness of the masses, freeze the evolution of the thermal (microscopic) frequency modes, allowing a clear separation of scales from the macroscopic modes that are governed by the Euler equations. Work in collaboration with Cedric Bernardin (U. Nice) and Francois Huveneers (CEREMADE).

13:15-14.45, Michela Ottobre, Heriot-Watt University, A one-dimensional model for self-propelled diffusions

Abstract. One of the new challenges of statistical mechanics arises from the study of interacting particle systems of self-propelled particles. Such models are at the root of many biological phenomena, such as bacterial migration, flocking of birds etc. In this talk we will consider a non-linear PDE for a Viksek-type model. The PDE at hand is i) not in gradient form and ii) the linear part of the equation is non-uniformly elliptic (but hypoelliptic instead). Moreover, as typical in this framework, the dynamics exhibits multiple equilibria (stationary states), corresponding to formation of different coordinated motions. This is a joint work with P.Butta (La Sapienza, Rome), F. Flandoli (Scuola Normale, Pisa) and B. Zegarlinski (Imperial College).

20.03.2018 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Katarzyna Pietruska Pałuba (UW) "Losowe operatory Schroedingera związane z procesami Levy'ego"

Abstrakt: Odczyt będzie poświęcony losowym operatorom Schroedingera pochodzącym od procesu Levy'ego ewoluującego w środowisku Poissonowskim, w przestrzeni Euklidesowej jak i na fraktalach. Omówimy konstrukcję i własności całkowej gęstości stanów - podstawowego obiektu w analizie tych operatorów. Zajmiemy się zwłaszcza jej asymptotyką, tak uśrednioną względem miary Poissona, jak i prawie pewną względem tej miary. Wyniki te zostały uzyskane wspólnie z dr Kamilem Kaletą z Politechniki Wrocławskiej.

13.15-14.45 Łukasz Stettner (IMPAN) "Sterowanie z kryterium średni koszt na jednostkę czasu z częściową zdegenerowaną obserwacją"

Abstrakt: Badamy sytuację gdy obserwacja procesu stanu, który jest sterowanym procesem Markowa jest deterministyczną funkcją od procesu stanu. Wtedy sterowany proces filtracji pozostaje procesem Markowa, jednak nie można stosować klasycznych technik zmiany prawdopodobieństwa. W pracy najpierw rozwiązuje się problem z obserwacją ze zbioru przeliczalnego by w końcu przy pewnych dość mocnych założeniach pokazać rozwiązanie problemu w sytuacji ogólnej przestrzeni obserwacji.

9.01.2018 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Sz. Peszat (UJ, IMPAN), "O pewnych wynikach M. Hairera",
13.15-14.45 T. Klimsiak (UMK), "Uogólnione równania różniczkowe wstecz z odbiciem i ich zastosowania do gier Dynkina"

12.12.2017 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Tadeusz Kulczycki (PWr) Oszacowania gęstości prawdopodobieństwa przejścia dla rozwiązania stochastycznego równania różniczkowego z szumem stabilnym.

Streszczenie:

Referat oparty jest na pracy "Transition density estimates for diagonal systems of SDEs driven by cylindrical $\alpha$-stable processes" napisanej wspólnie z M. Ryznarem.

Rozważamy stochastyczne równanie różniczkowe

$dX_t = A(X_{t-}) \, dZ_t$, $ X_0 = x$,

gdzie $Z_t$ jest cylindrycznym procesem $\alpha$-stabilnym w $\R^d$. Zakładamy, że macierze $A(x) = (a_{ij}(x))$ są diagonalne, $a_{ii}(x)$ są holderowskie i ograniczone z góry oraz z dołu przez dodatnie stałe. Konstruujemy gęstość prawdopodobieństwa przejścia $p^A(t,x,y)$ dla procesu $X_t$ i pokazujemy dokładne oszacowania tej gęstości. Pokazujemy także holderowskie i gradientowe oszacowania funkcji $x \to p^A(t,x,y)$.

13.15-14.45 Adam Gregosiewicz (PL, IMPAN), Metoda obrazów Lorda Kelvina w teorii półgrup i funkcji kosinusowych.

7.11.2017 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Radosław Adamczak (UW, IMPAN), Wypukła nierówność Poincare i słabe nierówności transportowe
Streszczenie:
Omówię związki między słabymi nierównościami
transportowymi z kosztem kwadratowo-liniowym, zmodyfikowanymi
nierównościami logarytmicznymi Sobolewa dla funkcji
wypukłych/wklęsłych (typu Bobkowa-Ledoux) i nierównością Poincare dla
funkcji wypukłych. Odczyt oparty będzie o pracę wspólną z Michałem
Strzeleckim.
13.15-14.45 Irmina Czarna (UWr), Multi-refracted and level-dependent Lévy processes
Streszczenie:
Przedmiotem rozważań jest tzw. wielokrotnie-rozszczepiony proces Lévy'ego (multi-refracted Lévy processes), którego dynamika zmienia się przez odejmowanie liniowych dryfów, zawsze wtedy kiedy proces znajduje się powyżej pewnych ustalonych poziomów. Podczas referatu udowodnimy, że taki proces jest jedynym mocnym rozwiązaniem pewnego stochastycznego równania różniczkowego. Ponadto zaprezentujemy formuły na tzw. jednostronne i dwustronne problemy wyjścia w języku tzw. funkcji skalujących. Dodatkowo pokażemy, że wychodząc od procesu wielokrotnie-rozszczepionego możemy otrzymać pewne własności i charakterystyki dla szerszej klasy procesów tzw. procesów zależnych od dryfu (level-dependent Lévy processes).

3.10.2017, seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 Miklos Rasonyi (Renyi Institute of HAS) Trading fractional Brownian motion

Abstract:Fractional processes have often been suggested as models for prices. They were mostly dismissed on the grounds that, in frictionless models this often leads to arbitrage. Laterit turned out that in the presence of transaction costs or illiquidity there are no such concerns.In an illiquid market where trading fast incurs extra costs we determine the optimal growth rate strategy for an investor maximizing the expected value of his terminal wealth on long horizons. Joint work with Paolo Guasoni and Zsolt Nika.

13.15-14.45 Jakub Ślęzak (PWr) "Asymptotic time averages for non-ergodic Gaussian processes"

Abstrakt: Praca ta dotyczy zachowania się średnich po czasie dla procesów Gaussowskich, które są stacjonarne, lecz nieergodyczne, korzystając z ich reprezentacji harmonicznej. Pozwala to na przedstawienie bezpośrednich formuł na graniczną postać licznych przydatnych statystyk, w szczególności uśrednionej po czasie funkcji charakterystycznej, pozwalającej badać silnie nieliniowe zależności związane z brakiem ergodyczności. Wyniki te znajdują zastosowanie w analizie rozwiązań uogólnionego równania Langevina.

9.05.2017, seminarium od 12.15 do 15

12.15-13.30 Marzia DE DONNO (Parma), American options: the double continuation region.
Abstract: Some decision-making problems in finance, such as capital investment options, prepayment options in gold loans, American quanto options, can be reformulatedin some cases as American options problems with and endogenous negative interest rate. We study the non-standard optimal exercise policy for American options when the interest rate is negative. In this case option exercise is optimally postponed not only when moneyness is insufficient but also when it is excessive. We give sufficient and necessary conditions for the existence of the double continuation region and extend the classical optimal exercise properties of the double free boundary that separates the exercise region from the double continuation region.

13.45-15 Maciej Wiśniewolski, O funkcjonałach na
przestrzeni wycieczek dla procesu Bessla z ujemnym indeksem.
Streszczenie: Rozważamy przestrzeń U funkcji ciągłych o wartościach nieujemnych
startujących z punktu x i powracających do niego w skończonym czasie.
Rozważamy punktowy proces Poissona o wartościach w U skonstruowany z
fragmentów trajektorii procesu Bessla o ujemnym indeksie między
kolejnymi odwiedzinami punktu x. Dzięki parametryzacji czasem lokalnym
potrafimy opisać całki po trajektoriach procesu Bessla jako
funkcjonały na U względem miary Ito dla wycieczek. Z drugiej strony
całki te potrafimy opisać dzięki znajomości rozkładu pierwszego
momentu dojścia do x oraz wartości procesu Bessla w ustalonej chwili.
Synteza tych dwóch metod prowadzi nas do uniwersalnego wzoru
opisującego funkcjonały całkowe na U. W szczególności otrzymujemy
elementarny wzór na czas przebywania wycieczki w ustalonym zbiorze
względem miary Ito dla wycieczek.

7.03.2017, seminarium od 12.15 do 15.00

12.15-13.30 Prof. Ben Gołdys (University of Sydney), " Rownanie dla potoku odwzorowan harmonicznych z losowym zaburzeniem".
Abstrakt: Bedziemy rozwazac rownanie dla potoku odwzorowan harmonicznych o wartosciach w dwuwymiarowej sferze. W przypadku rownania deterministycznego znane sa przyklady, gdy w skonczonym czasie powstaja osobliwosci rozwiazania. Pytanie, czy szum moze zapobiec powstaniu osobiliwosci, pozostaje otwarte. Opowiemy co obecnie wiadomo na temat tego problemu.

Bedziemy opierac sie na wspolnej pracy z Ngan le Kim i na niedawnej pracy M. Hocquet.,

13.45-15.00 Prof. Tomasz Szarek (UG), ''EQUICONTINUOUS FAMILIES OF MARKOV OPERATORS IN VIEW
OF TIGHTNESS AND ASYMPTOTIC STABILITY’'
Abstrakt: We show that any asymptotically stable Markov-Feller operator on a Polish space has the so-called Ces\`aro e-property. This is a particular equicontinuity condition on the family of iterates of the operator on Borel probability measures or its dual operator on continuous bounded functions.
Under the additional condition that the interior of the support of the unique invariant measure is non-empty, the operator will have the stronger e-property.

10.01.2017, seminarium od 12.15 do 15.00

12.15-13.30 Prof. Tadeusz Kulczycki (PWr), pt. "Własności rozwiązań równań -(-\Delta)^{\alpha/2} u = f(x,u)"
Abstrakt: Zbadamy własności rozwiązań równań -(-\Delta)^{\alpha/2} u = f(x,u) w pewnych pierścieniach w R^n. Przy odpowiednich założeniach na pierścienie, na warunki brzegowe i na funkcje f pokażemy pewne geometryczne własności funkcji u.
13.45-15.00 Dr Mariusz Niewęgłowski (PW), pt. "Twierdzenia Feynmana-Kaca dla procesów w losowych ośrodkach"
Abstrakt: Klasyczne Twierdzenia Feynmana-Kaca mówią o związkach pomiędzy pewnymi
addytywnymi funkcjonałami ruchu Browna a pewnymi zagadnieniami z równań różniczkowych cząstkowych (zag. Cauchyego lub Dirichleta). W referacie będą przedstawione uogólnienia tych twierdzeń dla procesów stochastycznych które są dane jako rozwiązania równań stochastycznych skokow-dyfuzyjnych w losowych ośrodkach. Losowy ośrodek jest tu modelowany procesem stochastycznym o skończonej przestrzeni stanów i trajektoriach cadlag. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań w losowych ośrodkach była badana we wcześniejszej pracy pt "Jump-diffusion processes in random environments" (współautor J.Jakubowski) która ukazała się w Journal of Differential Equations V.257, Issue 7, 2014. Prezentowane wyniki stanowią kontynuację tych badań.

6.12.2016, seminarium od 12.15 do 15.00

12.15-13.30 R. Rudnicki (IMPAN), Twierdzenie o rozkładzie półgrup podstochastycznych.
Abstrakt:Półgrupy podstochastyczne, to ciągłe półgrupy dodatnich kontrakcji na przestrzeni L1(X). Są używane do opisu i badania ewolucji rozkładów procesów Markowa. Będziemy rozpatrywać przypadek, gdy przestrzeń X jest metryczna i ośrodkowa. Pokażemy, że jeżeli półgrupa ma lokalną minorantę całkową, to asymptotycznie daje się rozłożyć na sumę części asymptotycznie stabilnych i część wymiatającą. Przedstawimy również pewne wnioski z tego twierdzenia wygodne w badaniu konkretnych półgrup, a szczególności związanych z procesami kawałkami deterministycznymi.
13.45-15.00 T. Klimsiak (IMPAN, UMK), Problem optymalnego przełączania i związane z nim układy nierówności quasi-wariacyjnych.
Abstrakt: Przedstawione będą wyniki na temat istnienia i jednoznaczności rozwiązań dla pewnej klasy wielowymiarowych stochastycznych równań różniczkowych wstecz z ukośnym odbiciem związanych z tzw. problemem optymalnego przełączania na przestrzeni z ogólną filtracją.
Przy pomocy rozwiązań tych równań można podać formułę na strategię optymalną. Następnie w przypadku markowskim można podać związki funkcji wartości z pewną klasą układów nierówności quasi-wariacyjnych.

22.11.2016, seminarium od 12.15 do 15.00

12.15-13.30 S. Olla, CEREMADE,UMR-CNRS,Université Paris Dauphine, PSL, Entropic hypercoercivity and hydrodynamic limits.Abstract:Entropic hypercoercivity provides estimates uniform in the dimensions of the dynamics, that are useful in proving hydrodynamic limit. In particular we use it to prove diffusive isothermal macroscopic transformations for a chain of non-linear oscillators immersed in a heat bath with a gradient of temperatures.

oraz

13.45-15.00 Szymon Peszat (UJ, IMPAN), O pewnych wynikach M. Hairera (kontynuacja)

18.10.2016, seminarium od 12.15 do 15.00

12.15-13.30 Sz. Peszat UJ, IMPAN), O pewnych wynikach M. Hairera.

13.45-15.00 J. Wesołowski (PW), Kwadratowe harnessy, a ASEPy

Streszczenie: Przedstawię reprezentację funkcji generującej rozkład stacjonarny ASEPów (asymetric simple exclusion process) za pomocą momentów procesów z pewnej podklasy kwadratowych harnessów. Konstrukcja procesów z tej podklasy jest związana z własnościami wielomianów Askey-Wilsona. Pokażę, jak można, moim zdaniem zgrabnie, wykorzystać wspomnianą reprezentację do dowodu zasady wielkich odchyleń dla średniej zajętości miejsc w ASEPie oraz do otrzymywania wzorów całkowych dla pewnych parametrów ASEPów. Są to wyniki otrzymane wspólnie z W. Brycem (Cincinnati).

Przy okazji przypominam o wykładzie prof. T. Bojdeckiego z ogólnej teorii procesów stochastycznych w godz. 10.15-12.00 we wtorki w sali 106 (w tym również 18 października).

15.03.2016 seminarium od 11.30 do 14.45

11.30-13.00 dr Maciej Wiśniewolski (UW) "O zabitym procesie Bessla".

Abstrakt: Celem wystąpienia jest zaprezentowanie gęstości przejścia dla zabitego procesu Bessla. W naszym przypadku zabity proces powstaje z procesu Bessla o nieujemnym indeksie i startującym z 1 poprzez wysłanie tego procesu poza przestrzeń stanów w chwili pierwszego dojścia do ustalonego punktu y (u nas y z (0,1)). Poprzez uogólnienie równania Volterry opisującego dojście do 0 dla procesu Bessla o ujemnym indeksie oraz dzięki własnościom mostu Bessla otrzymujemy pewne probabilistyczne tożsamości dzięki którym możemy opisać gęstość zabitego procesu. Dzięki znajomości gęstości zabitego procesu Bessla możemy opisać rozkład łączny pierwszego momentu dojścia do punktu oraz procesu Bessla. Inne zastosowania wiążą się z teorią wycieczek.

13.15-14.45 dr Marcin Pitera (UJ), "Optymalizacja portfelowa dla wrażliwego na ryzyko wzrostu".

Abstrakt: W referacie tym zajmę się problemem optymalizacji portfelowej na dyskretnym oraz nieskończonym horyzoncie czasowych, przy wykorzystaniu wrażliwego na ryzyko funkcjonału celu (ang. risk sensitive criterion). Pokażę jak dowodzić istnienia rozwiązania dla skojarzonego równania Bellmana w przypadku nieograniczonym, wprowadzając tzw. normy wagowe. W szczególności omówię problem istnienia optymalnej strategii inwestycyjnej przy założeniu, iż czynniki ekonomiczne stymulujące dynamikę akcji są ergodyczne, choć niekoniecznie jednostajnie ergodyczne. Referat ten bazuje na wspólnej pracy z prof. Ł. Stettnerem (IMPAN).

19.01.2016 seminarium od 11.30 do 14.45
- 11.30-13.00 dr T. Klimsiak, "Probabilistyczne rozwiązania nielokalnych półliniowych równań różniczkowych cząstkowych z miarami borelowskimi" Abstrakt:W referacie przedstawię definicję rozwiązań probabilistycznych dla szerokiej klasy półliniowych równań różniczkowych cząstkowych z operatorem Dirichleta oraz miarą borelowską o skończonym potencjale (niekoniecznie gładką). Następnie przedstawię wyniki o istnieniu i regularności rozwiązań w przypadku gdy nieliniowość jest monotoniczna (bez założeń na wzrost) oraz związaną z problemem teorię miar zredukowanych.
- 13.15-14.45 prof. T. Szarek, "Centralne Twierdzenie Graniczne dla niestacjonarnych łańcuchów Markowa” Abstrakt: W referacie pokażemy jak, budując coupling na trajektoriach, wyprowadzić CTG dla niestacjonarnych łańcuchów Markowa eksponencjalnie zbieżnych do equilibrium z przypadku stacjonarnego.

15.12.2015 sesja problemowa:
- 11.30-12.15 prof. J. Zabczyk, "Nieskończenie podzielne procesy Markowa"
- 12.15-13.00 prof. T. Byczkowski, "Hiperboliczny proces stabilny. Problemy i hipotezy"
- 13.15-14.00 prof. Sz. Peszat, "Stochastyczne równanie ciepła z białym szumem w wymiarach d=2,3"
- 14.00-14.45 prof. R. Łochowski: 1) Związki pomiędzy zliczaniem przeskoków przedziałów, "generalized arc length", uciętym wahaniem, czasami lokalnymi i teorią potencjału procesów Levy'ego, semimartyngałów i typowych procesów cen ze skokami; 2) Związki między asymptotyką uciętego wahania i istnieniem \psi wahania typowych procesów cen i nieregularnych ścieżek.
17.11.2015 - 11.30 sesja problemowa:
- 11.30-12.15 Ł. Stettner "Problem optymalnej wypłaty dywidendy dla modelu firmy ubezpieczeniowej w czasie dyskretnym"
- 12.15-13.00 T. Komorowski "Problemy otwarte dotyczace relacji Einsteina w ukladach bez przerwy spektralnej".
- Druga część seminarium będzie dotyczyła nowych problemów otwartych - postawione będą dwa problemy:
- 13.15-14.00 J. Jakubowski " Problemy związane z conditional Markov chain, z modelowaniem strukturalnym,
- 14-14.45 T. Klimsiak "Problem charakteryzacji miar dobrych dla półliniowych równań cząstkowych z absorpcją”
20.10.2015 - 11³⁰
11.30-12.30 prezentacja (i dystrybucja) tomu 105 (Stochastic Analysis) Banach Center Publications, 12.30-14 prof. Szymon Peszat "Problemy odwrotne dla stochastycznych równań z pochodnymi cząstkowymi"
19.05.2015 - 11³⁰
11.30-13 prof. dr hab. Tomasz Byczkowski, "Funkcjonały wykładnicze ruchu Browna, procesy Bessela i funkcja Greena hiperbolicznego ruchu Browna" Streszczenie: Celem referatu jest przedstawienie głównych wyników zawartych w wspólnej z K. Bogusem i J.Małeckim pracy: "Sharp estimates of Green function of hyperbolic Brownian motion"Praca dotyczy związków hiperbolicznego ruchu Browna z procesami Bessela. Dokładniej, za pomocą reprezentacji Matsumoto-Yora rozkładu łącznego (∫₀^t \exp(2 B_s⁽-μ) ) ds; B_t⁽-μ) otrzymujemy wyrażenie λ funkcji Greena G^λ półprzestrzeni dla hiperbolicznego ruchu Browna, w terminach jądra ciepła odpowiedniego ruchu Bessela. Tutaj B_t⁽-μ) = B_t - μt jest ruchem Browna z (ujemnym) dryfem (-μ); μ>0. Następnie, korzystając z dokładnych oszacowań jądra ciepła ruchu Bessela, udowodnionych niedawno przez K. Bogusa i J. Małeckiego, otrzymujemy ostre oszacowania λfunkcji Greena G^λ. Ważnym elementem dowodu przedstawienia G^λ jest reprezentacja Lampertiego geometrycznego ruchu Browna \exp ( B_t⁽-μ) ) w terminach odpowiedniego procesu Bessela R_t⁽-μ) ze zmianą czasu. 13.15-14.45 dr Łukasz Stępień, Granice skalowania dla równania falowego na jednowymiarowej kracie z zaburzeniem Ornsteina-Uhlenbecka. Streszczenie : Opiszę jednowymiarowy stochastyczny model transportu energii w łańcuchu wzajemnie oddziałujących oscylatorów rozmieszczonych na kracie wprowadzony przez Basile et al. w [1]. Ewolucja łańcucha opisana jest liniowym układem równań hamiltonowskich z zaburzeniem na kracie wprowadzony przez Basile et al. w [1]. Ewolucja łańcucha opisana jest liniowym układem równań hamiltonowskich z zaburzeniem losowym w postaci szumu zachowującego energię i masę. W przypadku łańcucha niezwiązanego zachowany jest także pęd układu. Z tego mikroskopowego modelu wyprowadzono makroskopowe prawa transportu ciepła w postaci równania dyfuzji w przypadku łańcucha związanego i superdyfuzji ze współczynnikiem α=3/2 dla łańcucha niezwiązanego. Omówię wyniki badań prowadzonych wspólnie z prof. T. Komorowskim nad granicą kinetyczną dla modyfikacji wspomnianego modelu polegającej na zastąpieniu szumu przez stacjonarny proces Ornsteina-Uhlembecka. Granica kinetyczna jest etapem pośrednim w przejściu od skali mikro- do makroskopowej. W tej skali uzyskuje się liniowe równanie Boltzmanna, będące równaniem prospektywnym dla procesu Markowa, który można interpretować jako opis gazu fononów - quasi-cząstek propagujących się w ośrodku i wymieniających energię w wyniku losowych zderzeń. [1] G. Basile, C. Bernardin, S. Olla, Momentum conserving model with anomalous thermal conductivity in low dimension, Physical Review Letters 96, 204303, (2006)
14.04.2015 - 11³⁰
11.30-13.00 Tomasz Szarek (UG), Iterated function systems on circle, Abstract: My talk will be about iterated function systems on circle. We prove that all iterated functions systems consisting of orientation-preserving circle homeomorphisms such that at least one of them has a dense orbit have a unique invariant measure. Then the strong Law of Large Numbers holds also. We will formulate sufficient conditions for stability. This is a joint paper with A. Zdunik. 13.15-14.45 Tomasz Grzywny (PWr), Prawdopodobieństwo przeżycia unimodalnych procesów Levy'ego Streszczenie: Referat będzie głównie dotyczył niezmienniczych na obroty unimodalnych procesów Levy'ego tzn procesów dla których miara Levy'ego jest absolutnie ciągła a jej gęstość jest izotropowa i radialnie nierosnąca. W trakcie referatu zostaną przedstawione ostre oszacowania na prawdopodobieństwa przeżycia procesu w zbiorach o gładkim brzegu dla dowolnego punktu startu. Typowymi przykładami takich zbiorów są kule, dopełnienia kul oraz półprzestrzeń. Ponadto zostaną przedstawione zastosowania tych wyników do oszacowań gęstości prawdopodobieństwa przejścia procesów zabitych po wyjściu z rozważanego zbioru. Referat będzie oparty na rezultatach otrzymanych wspólnie z prof. K. Bogdanem oraz prof. M. Ryznarem.
13.01.2015  - 11³⁰

11.30-13.00 Krzysztof Bartoszek, Asymptotyczne własności kwadratowych operatorów stochastycznych działających na L1xL1 (na podstawie wspólnej pracy z dr Małgorzatą Pułką)   Abstrakt: Kwadratowe operatory stochastyczne wykazują dużą różnorodność asymptotycznych zachowań. Nie dawno zostały  one wprowadzone i zbadane dla operatorów działających na l1xl1. Okazuje się, że większość tych zachowań można przenieść na L1xL1. Jednakże w związku z własnościami topologicznymi tej przestrzeni część własności można wykazać tylko dla operatorów jądrowych. Opiszemy jednostajną oraz mocną zbieżność operatorów działających na L1xL1 za pomocą zbieżności stowarzyszonych (liniowych) niejednorodnych łancuchów Markowa.   13.15-14.45 Rafał Łochowski, Całkowanie nieregularnych ścieżek - podejście za pomocą uciętego wahania   Abstrakt: W referacie omówię potencjalne związki między uciętym wahaniem a teorią nieregularnych ścieżek  oraz bardziej szczegółowo przedstawię związki między uciętym wahaniem a teorią Younga całkowania umiarkowanie nieregularnych ścieżek. Używając technik opartych na uciętym wahaniu, udowodnię wzmocnienie klasycznej nierówności Loeve-Younga, gwarantującej istnienie całki Riemanna-Stieltjesa gdy funkcje - całkująca i całkowana mają nieskończone wahanie całkowite, ale są wystarczająco regularne, tak, że mają skończone q i p-wahanie odpowienio, gdzie p>1, q>1 oraz 1/p1/q>1. Następnie przedstawię wariant tej nierówności, gdzie norma p-wahania jest zastąpiona przez pewną inną normę, związaną z asymptotyką uciętego wahania gdy poziom odcięcia dąży do 0. Na koniec udowodnię, że wspomniana norma dla typowej ścieżki ruchu Browna lub ogólniej- dowolnego ciągłego semimartyngału jest skończona, podczas gdy odpowiadająca jej norma 2-wahania jest nieskończona. 
 
  
18.11.2014 

11.30-13.00 Tomasz Klimsiak (IMPAN i UMK), Podwójnie stochastyczne równania różniczkowe wstecz i ich zastosowania do SPDE   Abstrakt: Podczas wykładu przedstawię wyniki wspólnej pracy z prof. A. Rozkoszem  na temat istnienia i regularności rozwiązań półliniowych stochastycznych parabolicznych równań różniczkowych cząstkowych z zależnym od czasu operatorem typu Dirichleta i absorpcją spełniającą słaby warunek wzrostu.  Przedstawię nowe podejście do problemu, które polega na wykorzystaniu podwójnie stochastycznych równań różniczkowych wstecz oraz probabilistycznej teorii potencjału.   13.15-14.45 Elina Kalpinelli (Athens University of Economics and Business), Wiener Chaos expansion and numerical solutions of the HJM interest rate model.   Abstract: In this work we construct generalized weighted Wiener chaos solutions for hyperbolic linear SPDEs driven by a cylindrical Brownian Motion. Explicit conditions for the existence, uniqueness and regularity of generalized (Wiener  Chaos) solutions are established in Sobolev spaces. An equivalence relation between the Wiener Chaos solution and the traditional one is established. Based on the Wiener Chaos expansion (WCE), we propose a fast and eﬃcient numerical scheme for solving hyperbolic SPDEs. To illustrate the general construction, we use the WCE to approximate the value of the US  Treasury bond in a HJM framework and the results are compared to those derived by the Monte Carlo method and the Kalman ﬁlter. 
 
  
21.10.2014  - 11³⁰

Krzysztof Bogdan (PWr), Mariusz Niewęgłowski (PW)

11.30-13.00 Krzysztof Bogdan, Politechnika Wrocławska  “Systemy Lévy'ego”  Abstrakt: Przedstawię wyniki wspólnej pracy z Lukaszem Wojciechowskim na temat  tzw. wielokrotnych mieszanych systemów Lévy'ego i ich związków z  wzorem Mecke-Palma.   13.15-14.45 Mariusz Niewęgłowski, Politechnika Warszawska  “Problemy zgodności dla warunkowych łańcuchów Markowa”  Abstrakt. W swoim wystapieniu omówię problem markowskich zgodności oraz związane z nim problemy konstrukcji "Markowskich kopuł" dla warunkowych łańcuchów Markowa. W kontekscie procesów Markowa markowska zgodność związana jest własnością Markowa (w odpowiedniej filtracjach) współrzędnych wielowymiarowego procesu Markowa. Zbadanie warunkow wystarczajacych i koniecznych na Markowska zgodność jest przydatne przy konstrukcji wielowymiarowych procesów Markowa których wspołrzędne są procesami Markowa o zadanych rozkladach. Badania nad Markowskimi zgodnościami prowadzą więc do wprowadzenia pojecia "Markowskiej kopuły" dla procesów Markowa. W moim referacie przedstawie wyniki naszych najnowszych badań dotyczące ugólnienia naszych wyników na warunkowe łańcuchy Markowa. 
 
  
17.06.2014  - 12¹⁵

Dariusz Gątarek (HVB - UniCredit)

  1. Matematyka finansowa, inżynieria finansowa, quantitative finance; związek z matematyką, rola matematyki w dyscyplinie, i kilka luźnych myśli praktyka i teoretyka zarazem.  2. Zależne momenty Markowa.  W trakcie referatu będzie tez omawiana praca D. Gatarek , J. Jablecki Systematic risk factors redefined, Risk 26, 66–70, listopad 2013.
 
  
8.04.2014  - 11³⁰

11.30-13 prof. A. Swiech (Georgia Institute of Technology), "Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations in metric spaces"    13.15-14.45 dr Tomasz Klimsiak (UMK), „Probabilistyczne rozwiązania równań różniczkowych cząstkowych i ich zastosowania”. 
 
  
18.03.2014  - 11³⁰

11.30-13.00 dr Kamil Kaleta (PWr), "Punktowe oszacowania funkcji własnych nielokalnych operatorów Schrödingera"  Streszczenie: Omówię pewną metodę otrzymywania dokładnych oszacowań (zaniku w nieskończoności) funkcji własnych  półgrup Feynmana–Kaca dla szerokiej klasy symetrycznych procesów Lévy'ego i potencjałów, która oparta  jest na pewnym warunku splotowym dla miar Lévy'ego. Rozważana klasa procesów zawiera te  o wykładniczo i podwykładniczo zanikających intensywnościach skoków, w tym relatywistyczne procesy stabilne.  W miarę możliwości omówię też pewne zastosowania uzyskanych oszacowań.  Referat będzie dotyczył wyników zawartych we wspólnej pracy z J. Lőrinczi  "Pointwise eigenfunction estimates and intrinsic ultracontractivity-type properties  of Feynman-Kac semigroups for a class of Levy processes"  (przyjętej do druku w Annals of Probability, arXiv:1209.4220).   13.15-14.45 dr Jacek Małecki (PWr) "Suprema procesów Levy'ego - wzory, oszacowania i asymptotyka", 
 
  
21.01.2014  - 11³⁰

11.30-13.00 Jerzy Zabczyk (tytuł będzie podany później)  13.15-14.45 Szymon Peszat, Równanie ciepła z białym szumem na brzegu
 
  
10.12.2013 

11.30-13.00 Tomasz Komorowski, Aproksymacja dyfuzyjna dla rozwiazań równania Schrodingera z losowym potencjałem.   Streszczenie:   W pierwszej części mojego wystąpienia omówię wynik mówiący o tym, iż transformata Wignera rozwiązania równania Schrodingeraw color="teal">R^d, gdzie color="teal">d≥2 z losowym potencjałem, przy przejściu granicznym w reżimie ”weak coupling”, zbiega do rozwiązania liniowego równania Boltzmanna. Mezoskopowa granica rozwiązań tego równania opisana jest przez równanie Kołmogorowa odpowiadające ruchowi Browna na color="teal">d-1 wymiarowej sferze. W przypadku makroskopowej granicy rozwiązań liniowego równania Boltzmanna z izotropowymi danymi początkowymi otrzymujemy równanie Kołmogorowa dla dyfuzji będącej pierwiastkiem kwadratowym color="teal">d/2 wymiarowego procesu Bessela.   13.15-14.45 John Noble, Time Homogeneous Diffusions with a Given Marginal at a Deterministic Time   Abstract: I talk about the article recently published in Stochastic Processes and Applications vol. 123 (2013) no. 3 pp 675 - 718, where I show that for any probability law over color="teal">R with finite first moment and a given deterministic time color="teal">t > 0, there exists a gap diffusion with the prescribed law at time color="teal">t. The method starts by constructing a discrete time process color="teal">X on a finite state space, where color="teal">X has the prescribed law when stopped at a geometric time color="teal">τ, independent of the diffusion. This argument is developed, using a fixed point theorem, to give conditions for existence of a process with the prescribed law when stopped at an independent time with negative binomial distribution. Reducing the time mesh to zero gives a continuous time diffusion with the prescribed law for when stopped at an independent time with a Gamma distribution. Keeping color="teal">E[τ ] = t fixed, the parameters of the Gamma distribution are altered, giving the prescribed law for the process stopped at time color="teal">t. 
 
  
19.11.2013  - 11³⁰

11.30-13.00 Ewelina Seroka (UKSW), Stabilność i stabilizowalność stochastycznych układów hybrydowych   Abstrakt wystapienia:   W referacie przedstawiony zostanie problem asymptotycznej stabilności i stabilizowalności według prawdopodobieństwa oraz eksponencjalnej p – średniej stabilności i stabilizowalności rozwiązania zerowego stochastycznego układu hybrydowego. Układy hybrydowe to układy dynamiczne, które wykazują zarówno ciągłe jak i dyskretne własności dynamiczne. Stan dyskretny opisany jest przedziałami stałą funkcją czasu typu càdlàg lub przedziałami stałym procesem stochastycznym, którego realizacje są typu càdlàg (tzw. reguła przełączania), zaś stan ciągły opisany jest deterministycznymi lub stochastycznymi równaniami różniczkowymi. W celu sformułowania warunków wystarczających stabilności i stabilizowalności rozwiązania zerowego rozważanych klas układów hybrydowych posłużymy się techniką funkcji Lapunowa. W analizie stabilności rozwiązania układów hybrydowych rozpatruje się między innymi wspólne i pojedyncze funkcje Lapunowa oraz pojedyncze quasi – funkcje Lapunowa. W przypadku, gdy dla układu hybrydowego istnieje wspólna funkcja Lapunowa, rozwiązanie zerowe deterministycznego układu hybrydowego jest asymptotycznie stabilne, zaś stochastycznego układu hybrydowego jest asymptotycznie stabilne według prawdopodobieństwa przy dowolnym przełączaniu. W przeciwnym przypadku stabilność rozwiązania zerowego układu hybrydowego zależy od reguły przełączania, i stąd rozwiązanie zerowe układu hybrydowego nie jest stabilne (w odpowiednim sensie) dla dowolnego przełączania, ale tylko dla tzw. stabilizujących reguł przełączania. Podane zostaną również przykłady numeryczne ilustrujące praktyczne wykorzystanie zaproponowanej teorii.   13.15-14.45 Lukasz Stettner, O markowskich grach stochastycznych a asymetryczna informacja   Abstrakt wystapienia:   Przedmiotem wystapienia jest gra stochastyczna w ktorej jeden gracz ma pelna informacje, a drugi jedynie czesciowa. Beda pokazane rownania na dolna i gorna wartosc gry i na optymalne strategie odpowiadajace tym wartosciom. Przyklad pokazujacy , ze w takim przypadku moze nie istniec wartosc gry bedzie rowniez pokazany. Wyniki opieraja sie na pracy z Arnabem Basu z Indian Institute of Management Bangalore. 
 
  
15.10.2013  - 11³⁰

11.30-13.00 prof. Tomasz Byczkowski, 13.15-14.45 dr Jan Palczewski

11.30-13.00 prof. Tomasz Byczkowski  Jądro Poissona i funkcja Greena półprzestrzeni i kul dla hiperbolicznego ruchu Browna  (Poisson kernel and Green function for half-spaces and balls for hyperbolic Brownian motion)  Streszczenie: W referacie przedstawiony zostanie przegląd wyników dotyczących pewnych aspektów teorii potencjału ruchu Browna na przestrzeniach hiperbolicznych, uzyskanych w ostatnich latach. Przedstawione zostaną jawne wzory na jądro Poissona i funkcję Greena półprzestrzeni i kul dla hiperbolicznego ruchu Browna na H^n, D^n i C^n oraz związki z reprezentacją czasów trafienia dla ruchu Bessela.  13.15-14.45 dr Jan Palczewski, "Estimation of parameters for Markov Switching Diffusion Models"  Abstract:  I will present results of (almost finished) paper with Krzysztof Latuszynski and Gareth Roberts. The problem is of Bayesian inference for diffusions whose coefficients depend on a non-observable finite state Markov process. We are interested in estimating parameters governing the coefficients of the diffusion as well as the transition matrix of the hidden process.  I will show how to generate paths of diffusions without discretisation errors inflicted by numerical schemes such as Euler or Milstein - this is a beautiful blend of stochastic analysis and intricate properties of the Brownian motion. It will be followed by a discussion of difficulties with statistical inference for discretely sampled diffusions. I will conclude with a sketch of a Monte Carlo Markov Chain algorithm for the inference problem of Markov switching diffusions. 
 
  
30.04.2013 

Szymon Peszat (IMPAN i AGH)

Rough Path Theory - wprowadzenie, kontynuacja
 
  
23.04.2013 

prof. Tomasz Komorowski (IMPAN)

Rough path theory - kontynuacja
 
  
16.04.2013 

prof. Tomasz Komorowski (IMPAN)

kontynuacja cyklu o "Rough path theory"
 
  
9.04.2013  - 12¹⁵

prof. Szymon Peszat (IMPAN i AGH)

"Wprowadzenie do rough path theory - rozwiązywanie równań różniczkowych w klasie funkcji o skończonym p wahaniu".
 
  
26.03.2013  - 12¹⁵

Tomasz Rogala (IMPAN)

Ciągłość całki i rozwiązań równań różniczkowych po trajektorii ze skończonym p - wahaniem
 
  
19.03.2013  - 12¹⁵

Łukasz Stettner (IMPAN), Tomasz Rogala (IMPAN)

Wprowadzenie do rough path theory wg. A. Lejay (Sem. Prob. 37 (2003))
 
  
12.03.2013  - 12¹⁵

Łukasz Stettner (IMPAN)

Całkowanie formy różniczkowej względem nieregularnej ścieżki i definicja seminormy p-wariacyjnej wg pracy A. Lejay, An Introduction to Rough Paths, Sem. Prob. XXXVII (2003).  
 
  
5.03.2013  - 12¹⁵

Ben Gołdys (University of Sydney)

"Charakteryzacje procesów Gaussa-Markowa w przestrzeniach Hilberta"   ABSTRAKT:  Przedstawimy charakteryzacje jednorodnych w czasie procesow Gaussa-Markowa przyjmujach wartosci w przestrzeni Hilberta. Pokazemy, ze przy pewnych slabych zalozeniach procesy takie musza byc rozwiazaniami liniowych stochastycznych rownan ewolucji (o byc moze singularnych wspolczynnikach). Wyklad oparty jest na wspolnej pracy z Szymonem Peszatem i Jerzym Zabczykiem. 
 
  
15.01.2013 

11.30-13.00 Anna Talarczyk (UW) "Asymptotyka drugiego rzędu procesu liczby bloków procesu Lambda-koalescencji"  Abstrakt:  Procesy koalescencji są procesami Markowa o wartościach w zbiorze podziałów zbioru przeliczalnego. Z upływem czasu bloki się sklejają. Procesy takie pojawiają się np. w kontekście modelowania genealogii populacji. Klasycznym przykładem jest koalescencja Kingmana, w której każda para bloków skleja się z intensywnością 1. Procesy Lambda-koalescencji stanowią ogólniejszą klasę, która dopuszcza jednoczesne sklejanie wielu bloków. Procesy te opisuje się przez pewną miarę Lambda na odcinku [0,1], zadającą mechanizm sklejania. W referacie będziemy rozważać procesy Lambda-koalescencji startujące z przeliczalnej liczby bloków. Niech N_t oznacza liczbę bloków w chwili t. Znany jest warunek konieczny i dostateczny jaki musi spełniać miara Lambda, aby dla każdego t>0 N_t było skończone p.n., ponadto znana jest też prędkość schodzenia z nieskończoności, tj. taka deterministyczna funkcja v, że N_s/v_s zbiega do 1 przy s dążącym do 0. W referacie opiszemy asymptotykę drugiego rzędu procesu liczby bloków Lambda-koalescencji bez części kingmanowskiej. Dokładniej, zbadamy zachowanie procesów (N_\epsilon t/v_\epsilon t - 1), t\ge 0, gdy \epsilon zbiega do 0. Pokażemy, że przy dodatkowym założeniu regularności miary Lambda i po odpowiednim unormowaniu zależnym od \epsilon procesy te zbiegają wg. rozkładu w przestrzeni Skorochoda do pewnego procesu stabilnego. Proces graniczny spełnia równanie typu Ornsteina-Uhlenbecka z szumem Levy'ego.  13.15-14.45 Jacek Jakubowski (UW) "O hiperbolicznym procesie Bessela"
 
  
4.12.2012 

Otwarte problemy: 11.30-13 prof. Tomasz Komorowski i 13.15-14.45 prof. Łukasz Stettner "Problemy sterowania ułamkowym ruchem Browna"
 
  
13.11.2012 

Prezentacja otwartych problemów przez prof. T. Komorowskiego, Sz. Peszata, Ł. Stettnera i J. Zabczyka
 
  
9.10.2012 

11.30 - 13.00 dr Piotr Zebrowski (IMPAN i UWr)   "Twierdzenia graniczne dla powiązanych i zależnych błądzeń losowych z  czasem ciągłym"   13.15-14.45 mgr Małgorzata Sulkowska (PWr)   "Optymalne oraz efektywne algorytmy zatrzymywania procesów przeszukiwania grafów skierowanych".
 
  
17.01.2012 

Jerzy Zabczyk (IMPAN), Tomasz Komorowski (UMCS, IMPAN)

11.30-13 prof. Jerzy Zabczyk, O rownaniu Musieli z szumem Levy'ego,   Abstrakt: Rownanie Musieli jest stochastycznym rownaniem opisujacym ewolucje "przewidywanych stop procentowych". Referat poswiecony bedzie przypadkowi, gdy procesem zaburzajacym jest jednowymiarowy proces Levy'ego. Podane beda warunki na istnienie nieujemnych rozwiazan lokalnych i globalnych w dwu przypadkach, gdy operator dyfuzji jest typu Niemytzkiego i gdy jest liniowy. Prezentowane wyniki pochodza z przygotowanej wspolnie z M. Barskim pracy "Heath-Jarrow-Morton-Musiela equation with Levy perturbation".   13.15-14.45 prof. Tomasz Komorowski, Asymptotyka nieskonczonego ukladu oscylatorow na kracie jednowymiarowej,   Abstrakt: W swoim wystapieniu omowie klasyczny model rozchodzenia sie ciepla na precie jednowymiarowym. Gdy nie uwzgledniamy oddzialywan z zewnetrzym termostatem zadany moze on byc przez uklad nieskonczenie wielu oddzialywujacych miedzy soba oscylatorow umieszczonych w punktach kraty calkowitoliczbowej. Dynamika takiego ukladu zadana jest przez uklad nieskonczenie wielu rownan Hamiltona. Jest to klasyczny model propagacji ciepla. Podstawowym problemem zwiazanym z tym modelem jest badanie jego asymptotyki w duzych skalach czaso-przestrzennych. Uzyskanie rygorystycznych wynikow stanowi w chwili obecnej znaczne wyzwanie z punktu widzenia matematyki. Aby nieco ulatwic ten problem zaklada sie, iz oddzialywania maja charakter stochastyczny, tak wiec dynamika zadana jest rownaniem stochastycznym w pewnej przestrzeni Hilberta. Ze wzgledu na wymog by pewne wielkosci fizyczne (takie jak energia i ped) byly lokalnie zachowane, szum wystepujacy w ukladzie jest zdegenrowany. Pokazemy, iz granice skalowania transformaty Wignera rozwiazan takich rownan zbiegaja do rozwiazania rownania ciepla z ulamkowym laplasjanem (o wykladniku 3/4). Wprowadzimy takze pojecie kompensowanego rozwiazania, ktore w niektorych sytuacjach zawiera wiecej informacji o rozwiazaniu niz jego transformata Wignera. Wykazemy, iz granica kompensowanych rozwiazan opisana jest niejednorodnym w czasie rozwiazaniem rownania Ornstein-Uhlenbecka. Uzyskane wyniki stanowia efekt wspolnych badan z L. Stepniem (UMCS), S. Olla (CEREMADE, Univ. Paris-Dauphine) i L. Ryzhikiem (Stanford Univ.). 
 
  
6.12.2011 

B. Gołdys (School of Mathematics and Statistics The University of New South Wales, Jacek Leskow (Zakład Metod Ilościowych w Zarządzaniu, WSB-NLU Nowy Sącz)

11.30-13.00 B. Gołdys (School of Mathematics and Statistics The University of New South Wales, Sydney) O pewnych uogólnieniach stochastycznego równania Burgersa   ABSTRAKT: Jednowymiarowe równanie Burgersa było w ostatnich latach intensywnie badane i jest ono stosunkowo dobrze zrozumiane. Celem tego wykładu będzie przedstawienie pewnych uogólnien tego równania. Przedstawimy najpierw wyniki dotyczące wielowymiarowego równania Burgersa w przypadku gdy rozwiązanie nie jest gradientem. W drugiej części wykładu będziemy rozważać stochastyczne równanie Burgersa z ułamkowa potęgą operatora Laplaca.   13.15-14.45 Jacek Leskow (Zakład Metod Ilościowych w Zarządzaniu, WSB-NLU Nowy Sącz) Techniki repróbkowania dla szeregów czasowych okresowo i prawie okresowo skorelowanych   ABSTRAKT: Tematem wykladu jest zastosowanie technik repróbkowania typu bootstrap czy subsampling do wnioskowania dla szeregów czasowych okresowo i prawie okresowo skorelowanych. Technika repróbkowania polega na badaniu próbkowego rozkladu estymatora za pomocą algorytmów symulacyjnych które umożliwiają aproksymacje takiego rozkladu. Stosowanie takich algorytmów w praktyce wymaga udowodnienia ich zgodności, to znaczy zbieżności rozkladów aproksymacyjnych do rozkładów asymptotycznych badanego estymatora. W trakcie wykladu, oprócz podania ogólnych informacji dotyczących technik bootstrap, zostanie przedstawione twierdzenie o zgodności techniki subsampling dla prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych. Omówione zostaną też zastosowania tego rezultatu w analizie sygnałów wibromechanicznych i telekomunikacyjnych. 
 
  
22.11.2011 

11.30-13.00 Krzysztof Szajowski (PWr) - Problem rozregulowania dla wielowymiarowego procesu,  13.15-14.45 Mateusz Kwaśnicki (IMPAN i PWr) - Suprema procesów Levy'ego (na podstawie wspólnej pracy z J. Małeckim i M. Ryznarem) 
 
  
11.10.2011 

11.30-13.00 Ł. Stettner, O metodzie kary w optymalnym stopowaniu  13.15-14.45 K. Bogdan, Schroedingerowskie zaburzenia operatorów całkowych
 
  
8.03.2011 

11.30-13.00 prof. dr hab. Zbigniew Jurek (UWr) - "Losowe reprezentacje całkowe ich zastosowania",   13.15-14.45 dr Rafał Łochowski (SGH) - "Ucięte wahanie procesu stochastycznego o trajektoriach cadlag: skończoność, problem istnienia eksponencjalnych momentów, optymalność, prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczne." 
 
  
18.01.2011 

11.30-13.00 B. Gołdys, Wielkie odchylenia dla równania Landaua Lifschitza,  13.15-15.45 Sz. Peszat, Ergodyczność stochastycznego równania Naviera Stokesa
 
  
11.01.2011 

11.30-13.00 J. Zabczyk: "On invariant measures for SPDEs with stable noise"   Abstract. Recent results on the rate of convergence of transition  functions to the invariant measure for spdes with stable noise are  presented. The gradient estimates and the coupling method are used. The  results were obtained in collaboration by Lihu Xu, Enrico Priola, Armen  Shirikyan and J. Zabczyk and can be found on ArXiv.   13.15-14.45 W. Grygierzec: "Jednoznaczność rozwiazania lepkosciowego równania Hamiltona-Bellmana-Jacobiego dla sterowania optymalnego stochastycznego równania dyfuzji."  
 
  
7.12.2010  -  

  Tadeusz Kulczycki (IMPAN Wrocław): Operatory Schrödingera oparte na ułamkowym Laplasjanie;  Mateusz Kwaśnicki (IMPAN Wrocław): Suprema pewnych symetrycznych procesów Lévy'ego
 
  
16.11.2010 

11.30-13.00 Szymon Peszat, pt. "Operator drugiej kwantyzacji na przestrzeni Levy'ego-Focka i wlasności półgrupy przejścia procesu Levy'ego-Ornsteina-Uhlenbecka"  13.15-14.45 Tomasz Komorowski, pt. "Asymptotyka rozwiązań równań różnicowych z losowymi współczynnikami. Streszczenie: W swoim wystapieniu podam oszacowania rozwiazan rownania rezolwenty generatora symetrycznego bladzenia przypadkowego na kracie losowej otrzymane ostatnio w pracy Gloria i Otto [1] dla wymiarow kraty color="teal">d≥2. Omówię także otrzymaną przeze mnie i L. Ryzhika dokładną asymptotykę tych rozwiązań w przypadku wymiaru color="teal">d=1.[1] Gloria, Antoine, Otto, Felix, \em An optimal error estimate in stochastic homogenization of discrete elliptic equations (2010) to appear in \em The Annals of Probability, available at \tt http:/hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/45/70/20/PDF/Gloria-Otto-2.pdf 
 
  
26.10.2010 

Ł. Stettner, Nowe fakty z ergodycznych własności procesów filtracji,  P. Hitczenko, O ogonach perpetuit losowych
 
  
26.10.2010 

Łukasz Stettner (IMPAN)

Nowe fakty z ergodycznych własności procesów filtracji
Paweł Hitczenko (IMPAN)
O ogonach perpetuit losowych
 
  
30.03.2010 

prof. Jolanta Misiewicz (PW)

Procesy o uogólnionych przyrostach niezależnych.
 
  
23.03.2010 

Jacek Jakubowski (MIM UW i PW)

O rozwiązaniach SDE z szumem Levy'ego w losowym ośrodku
 
  
26.01.2010 

Beniamin Gołdys (Univ. New South Wales, Sydney)

Stochastyczne równanie Landaua - Lipschitza
 
  
19.01.2010 

Mateusz Kwaśnicki (Politechnika Wrocławska)

Funkcje własne półgrup pewnych procesów Lévy'ego na półprostej 

Abstract
 
  
19.01.2010 

Mateusz Kwasnicki (Politechnika Wroclawska)

"Funkcje własne półgrup pewnych procesów Lévy'ego na półprostej". Streszczenie:   Procesy Levy'ego (czy szerzej procesy Markowa) zabite w chwili wyjścia ze zbioru otwartego mają związek z wieloma klasycznymi zagadnieniami analizy i od dawna są tematem badań. W ostatnich latach ukazało się wiele prac poświęconych oszacowaniom gęstości prawdopodobieństwa przejścia takich procesów. Innym badanym obiektem są wartości własne i funkcje własne operatorów przejścia takich procesów. W niedawnym artykule dr Kwasnicki z T. Kulczyckim, J. Małeckim i A. Stósem w tym kontekście rozważal tzw. jednowymiarowy proces Cauchy'ego (symetryczny proces 1-stabilny).  Wyniki tej pracy zawierają jawny wzór na prawdopodobieństwo przejścia procesu na półprostej oraz dwuczłonowe rozwinięcie asymptotyczne wartości własnych procesu na odcinku. Aby otrzymać te rezultaty, wyprowadza się jawny wzór na funkcje własne półgrupy procesu na półprostej. Przedstawiona bedzie metoda uzyskania wzoru na funkcje własne operatorów przejścia procesu na półprostej w ogólniejszym kontekście, gdy rozważany proces jest subordynowanym ruchem Browna. Wyprowadzenie polega na zastosowaniu tzw. metody Wienera-Hopfa dla operatorów związanych z procesem. Warto podkreślić, że metoda Wienera-Hopfa zastosowana do innych  operatorów leży u podstaw teorii fluktuacji procesów Levy'ego. Oba wspomniane zastosowania tej metody wydają się jednak niezależne od siebie.  
 
  
12.01.2010 

Katarzyna Pietruska -Pałuba (UW)

"Nierownosci typu Hardy'ego dla miar Gaussowskich w R^n"
 
  
8.12.2009  - 12¹⁵

Tomasz Komorowski (UMCS i IMPAN)

Twierdzenia graniczne dla addytywnych funkcjonałów od procesu Markowa.   Streszczenie: W moim wystąpieniu omówię graniczne zachowanie funkcjonałów postaci color="teal">Y(t):=∫₀^t V(K_s)ds, gdzie color="teal">(K_t) jest danym procesem Markowa. W pierwszej częsci omówię sytuację gdy proces posiada probabilistyczną miarę niezmienniczą, zaś rozkład obserwabli color="teal">V należy do obszaru przyciągania pewnego rozkładu stabilnego indeksu color="teal">α. Przy odpowiednich założeniach dotyczących procesu color="teal">(K_t) pokażemy, iż granicą color="teal">N^-1/αY(Nt) w sensie rozkładu, przy color="teal">N→∞, jest proces color="teal">α-stabilny. Drugą część wystąpienia poświęcę omówieniu zagadnienia istnienia granicy w przypadku gdy miara niezmiennicza dla color="teal">(K_t) jest nieskończona. Granica odpowiedno skalowanego procesu color="teal">(Y(t)) jest w tym przypadku samopodobnym procesem niemarkowowskim. Podam zastosowania uzyskanych rezultatów w teorii przewodnictwa cieplnego i mechanice kwantowej. Omówione rezultaty otrzymane zostały we współpracy z M. Jara i S. Olla z Universite Paris-Dauphine.
 
  
24.11.2009  - 12¹⁵

Tadeusz Kulczycki (IMPAN i PWr.)

Spektralne własności procesu Cauchy'ego

Abstract   
10.11.2009  - 12¹⁵

Jerzy Zabczyk (IMPAN)

O aproksymacjach rozwiązań stochastycznych równań ewolucyjnych

Abstract
 
20.10.2009  - 12¹⁵

Szymon Peszat (IMPAN Kraków)

Regularność rozwiązań liniowych ewolucyjnych równań stochastycznych z szumem Levy'ego
 
6.10.2009 

Łukasz Stettner (IMPAN)

Asymptotyka oczekiwanej wartości funkcji użyteczności

Abstract
 
9.06.2009  - 12¹⁵

David Elworthy (University of Warwick)

Generalised Leray-Schauder degree theory and stochastic analysis

Abstract
 
2.06.2009  - 12¹⁵

Stefano Olla (CEREMADE)

Macroscopic non-equilibrium evolution of a system of anharmonic oscilators (I)

Abstract
 
26.05.2009 

Łukasz Stettner

Miary niezmiennicze dla procesu filtracji - praca R. van Handela - poprawienie luki z pracy H. Kunity
 
19.05.2009  - 12¹⁵

Michał Baran

Równania HJM ze skokami (dokończenie)
Ł. Stettner
Miary niezmiennicze dla procesu filtracji - praca R. van Handela 
 
12.05.2009  - 12¹⁵

Michał Baran (UKSW)

Rozwiązania równania HJM ze skokami
 
27.01.2009 

Anna Talarczyk

O metodzie czasoprzestrzeni do badania zbieżności rozkładów procesów o wartościach w color="teal">S'(R^d) 

Abstract
 
20.01.2009 

Tomasz Jakubowski

Perturbacje ułamkowego Laplasjanu
 
16.12.2008 

Jerzy Zabczyk (IMPAN)

Własności strukturalne rozwiązań równań ewolucyjnych z szumem Levy'ego - c.d.

Abstract   
9.12.2008 

J. Jakubowski, M. Niewęgłowski

Rynek z cenami generowanymi przez szumy Levy'ego i migracja ratingów

Abstract   
2.12.2008 

Jerzy Zabczyk (IMPAN)

Własności strukturalne rozwiązań równań ewolucyjnych z szumem Levy'ego

Abstract
 
18.11.2008 

Krzysztof Szajowski (IMiI PWr.)

Optymalne zatrzymywanie wektorowego procesu ryzyka

Abstract
 
28.10.2008 

H. Kunita

Malliavin calculus on Wiener-Poisson space 

Abstract
 
21.10.2008 

K. Pietruska-Pałuba (IMPAN)

Procesy stabilne na fraktalach a ruch Browna 
 
7.10.2008 

P. Imkeller (Humboldt-Universität zu Berlin)

Low-dimensional climate models with Levy noise

Abstract

Seminaria w roku akademickim 2006/2007

29.04.2008 

Szymon Peszat (IMPAN Kraków)

Prawo wielkich liczb dla modelu pasywnego znacznika (dokończenie)  - wg wspólnej pracy z T. Komorowskim i T. Szarkiem  
 
22.04.2008 

Szymon Peszat (IMPAN Kraków)

Prawo wielkich liczb dla modelu pasywnego znacznika wg wspólnej pracy z T. Komorowskim i T. Szarkiem     
26.02.2008 

Adam Jakubowski (UMK Toruń)

Moje przygody z kryterium ciasności Aldousa
 
29.01.2008 

B. Gołdys

Modele rynków finansowych z losową zmiennością
 
22.01.2008 

D. Applebaum

L(2)-properties of Hunt semigroups on Lie groups
 
15.01.2008 

A. Talarczyk

Fluktuacje czasu przebywania gałązkowych układów cząstek

Abstract
 
18.12.2007  - 12¹⁵

Michał Baran

Zupełność rynków obligacji z szumem Levy'ego - c.d. 
 
11.12.2007  - 10³⁰

A. Święch

Wstęp do teorii rozwiązań lepkich (viscosity solutions) 
 
4.12.2007  - 12¹⁵

Michał Baran

Zupełność rynków obligacji z szumem Levy'ego 
 
27.11.2007 

Mariusz Niewęgłowski (PW, Wydz. MiNI)

Wyznaczanie rozkładów czasów absorpcji z zastosowaniami do finansów
 
13.11.2007  - 12¹⁵

Piotr Miłoś (IMPAN)

Stochastyczne równania z szumem Levy'ego w teorii nieskończonych układów cząstek (dokończenie) 
Mariusz Niewęgłowski (PW)
Wyznaczanie rozkładów czasów absorpcji z zastosowaniami do finansów